[微積] 台大微甲93考古題 (線積分)

[kyoiku (生死間有大恐怖)]

          -ydx + (x^2 + y^2 - x)dy
求 ∫_C  ---------------------------
               (x-1)^2 + y^2

其中曲線 C 被定義為 r = 1/2 + cosθ (極座標)，0≦θ≦2π


ps. C 畫出來是一個愛心向左旋轉 90 度，
    但是愛心上方的深 v 在谷底峰迴路轉地打了一個小圈，
    也就是 C 通過原點 2 次。(θ = 120 or 240 度)




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◆ From: 125.229.243.78
→ ricestone   :直接x=rCosθ,y=rSinθ下去做
※ 編輯: kyoiku          來自: 125.229.243.78       (05/14 16:49)
→ kyoiku      :用兩次 Green Thm 可以嗎？ 分成 2π/3≦θ≦4π/3
→ kyoiku      :和 2π/3≧θ≧-2π/3 兩段，分別圍成兩個封閉區域
→ kyoiku      :小圈和愛心
→ ricestone   :最大問題是Green後的樣子不好看啊...
→ ricestone   :就算題目變化一下，Green之後好看，你也要算各面積
→ ricestone   :如果是最好看的樣子，那就跟留數定理一樣了
→ ricestone   :啊對了，忘了Green不能用的原因不是這個
→ ricestone   :是因為(1,0)瑕點被包到了所以不能用
→ ricestone   :瑕點被包到的情況除非滿足留數定理，否則只能硬做
→ hsnuyi      :剛去看了一下 那是個考五題的時代...
→ kyoiku      :答案是2pi嗎？好煩好濫的計算題......
→ kyoiku      :為啥這題沒解答其他題有，那年的助教是誰呢，ORZ
→ kyoiku      :把那個瑕點包起來，繞數=1，答案有可能是2pi
→ ricestone   :你說的前提就要滿足curl(F)=0啦
→ ricestone   :我錯了...算出來就是curl(F)=0，所以直接就是2pi了
→ kyoiku      :我是硬算，全微分硬帶，變數變換硬換，積分硬積
→ ricestone   :所以說我錯了嘛...因為curl=0所以直接繞線就好了
→ ricestone   :不過你程度如果算的出curl=0，你這題應該沒問題啊？
→ kyoiku      :它的旋度不就是GREEN THROEAM 中的被積分式？
→ ricestone   :我前面全部都是講同一件事情呀，只是說法不同而已
→ ricestone   :反正就是剩下繞瑕點的積分，也就是留數定理