推 penny93730 :謝謝:) 05/19 23:57
※ 引述《penny93730 (思考)》之銘言：
: n 1
: 1. 求 lim Σ -----------------
: n->∞ n=1 (n^2 + k )^(0.5) Ans:1
: 2.f:[a,b]→R，且f在(a,b)為連續函數
: b b
: |∫ f(x) dx | ≦ ∫ |f(x)| dx
: a a
: 為何上式恆成立？
:
: 以上，感謝回答:)
n 1
1. 題目應該是 lim Σ ----------------- 吧
n→∞ k=1 (n^2 + k)^(0.5)
如果是的話
n^2 + 1 ≦ n^2 + k ≦ n^2 + n for 1 ≦ k ≦ n
=> √(n^2 + 1) ≦ √(n^2 + k) ≦ √(n^2 + n) for 1 ≦ k ≦ n
1 1 1
=> ----------- ≦ ----------- ≦ -----------
√(n^2 + n) √(n^2 + k) √(n^2 + 1)
n 1 n 1 n 1
=> Σ ----------- ≦ Σ ----------- ≦ Σ -----------
k=1 √(n^2 + n) k=1 √(n^2 + k) k=1 √(n^2 + 1)
n n 1 n
=> ----------- ≦ Σ ----------- ≦ -----------
√(n^2 + n) k=1 √(n^2 + k) √(n^2 + 1)
n 1
∵ lim ------------- = lim ------------- = 1
n→∞ √(n^2 + n) n→∞ √(1 + (1/n))
n 1
lim ------------- = lim ----------------- = 1
n→∞ √(n^2 + 1) n→∞ √(1 + (1/(n^2)))
n n
=> lim ----------- = lim -----------
n→∞ √(n^2 + n) n→∞ √(n^2 + 1)
∴ 由夾擠定理得
n 1
lim Σ ----------- = 1
n→∞ k=1 √(n^2 + k)
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