Re: [機統] 繩子任意切成三段 最長段期望值

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《outshaker (out)》之銘言：
: 定義問題：長度為1的繩子任意切兩刀，最長段繩子的期望值。

這 "任意切兩刀" 必須有明確的定義. 以下是一個解釋.
  令 X1, X2 是相互獨立且在區間 (0,1) 均勻分布的
  隨機變數. 令 Y1=min{X1.X2}, Y2=max{X1,X2}. 問
  E[max{Y1,Y2-Y1,1-Y2}].

Y1, Y2 的聯合 p.d.f. 為
  h(y1,y2) = 2,  0<y1<y2<1.

又令 Z1=Y1, Z2=Y2-Y1, 則 Z1, Z2 之聯合 p.d.f. 為
  g(z1,z2) = 2, z1>0, z2>0, z1+z2<1
所求為 E[max{Z1,Z2,1-Z1-Z2}].

若設 Z3=1-Z1-Z2, 事實上 Z1, Z2, Z3 為 exchangeable,
也就是說: (Zi,Zj) 其中 (i,j) 是 1,2,3 取 2 之排列,
聯合分布都是相同的. 但 Z1+Z2+Z3=1, 因此 Z1, Z2, Z3
沒有聯合 p.d.f. (它們的分布退化在一個平面上).

故
   E[max{Z1,Z2,Z3}] = E[Z1|Z1>Z2>Z3].
在 Z1>Z2>Z3 的條件下, (Z1,Z2) 的條件分布是在
   0<1-(z1+z2)<z2<z1<1
這區域內均勻的. 即: 由 z1=z2 右邊, z1+z2=1 左邊,
以及 z1+2z2=1 右上相交的區域, 或即: 由 (1/3,1/3),
(1/2,1/2) 及 (1,0) 三點決定的三角形區域.

令 W=max{Z1,Z2,Z3}, 得
           1/2   w               1    1-w
          ∫  w ∫      dz dw + ∫ w ∫      dz dw
           1/3   (1-w)/2         1/2  (1-w)/2
   E[W] = ----------------------------------------
            1/2 w               1   1-w
           ∫  ∫      dz dw + ∫  ∫      dz dw
            1/3 (1-w)/2         1/2 (1-w)/2

        = 11/18


一般, 假設切 n 刀, 即分成 n+1 段.
X1,...,Xn 為 i.i.d. uniform(0,1);
Y1<...<Yn 為其順序統計量.
令 Z1=Y1, 而 i>1 時 Zi=Yi-Y(i-1), Z(n+1)=1-ΣZi.
W = max{Z1,...,Zn,Z(n+1)}.

則 Z1,...,Zn,Z(n+1) 是 exchangeable, 但退化在 n 維
超平面 z_1+...+z_n+z_{n+1} = 1 之上.

E[W] = E[Z1|Z1>Z2>...>Zn>Z(n+1)], 且
Given Z1>Z2>...>Zn>Z(n+1), (Z1,...,Zn) 均勻分布於
   1>z_1>z_2>...>z_n>1-z_1-...-z_n>0
即
 (1-z_1-...-z_{n-1})/2 < z_n < min{z_{n-1},1-z_1-...-z_{n-1}}
 (1-z_1-...-z_{n-2})/3 < z_{n-1} < min{z_{n-2},1-z_1-...-z_{n-2}}
        .
        .
        .
 (1-z_1)/n < z_2 < min{z_1,1-z_1}
  1/(n+1) < z_1 < 1
以 D 表示此區域. 則

            ∫…∫ z_1 d(z_1)d(z_2)...d(z_n)
               D
    E[W] = ----------------------------------
              ∫…∫ d(z_1)d(z_2)...d(z_n)
                 D

實際計算頗煩瑣, 例如 n=3 時, D 分成下列 5 個小區域:
  1/4<z1<1/3, (1-z1)/3<z2<z1, (1-z1-z2)/2<z3<z2;
  1/3<z1<1/2, (1-z1)/3<z2<(1-z1)/2, (1-z1-z2)/2<z3<z2;
  1/3<z1<1/2, (1-z1)/3<z2<z1, (1-z1-z2)/2<z3<1-z1-z2;
  1/2<z1<1, (1-z1)/3<z2<(1-z1)/2, (1-z1-z2)/2<z3<z2;
  1/2<z1<1, (1-z1)/3<z2<1-z1, (1-z1-z2)/2<z3<1-z1-z2.
上列第 2, 4 兩小區也可合併成一區.


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◆ From: 125.233.157.176
推 ilway25     :話說我們機率期末考第一題就考E[Y2-Y1]，還只佔6分..
→ yhliu       :E[Y2-Y1] 並不難, 甚至可說很容易.
推 outshaker   :謝謝您的推導，我的證明還有不周延的地方。會再修正
→ outshaker   :另外一個觀點：最大離均差的期望值
→ outshaker   :把區段視為1/n+dz，或許可以看作一種變數轉換吧
→ outshaker   :n=2推n=4，或許比n=2推n=3還要簡單，目前在嘗試中