Re: [微積] 關於PDE的變數分離法的問題

[endlesschaos (佐佐木信二)]

※ 引述《funnypeter (很難笑,披得)》之銘言：
: 其實這個應該算是有點蠢的問題
: 但我真的很想弄清楚!!
: 若有函數u(x,y)
: 利用變分法寫成u=F(x)G(y)

u = F(x)G(y)

代入偏微分方程式後寫出

F"(x) = G"(y)

讓我們把這個二次微分的式子寫開來


  2       2
 d F     d G
----- = -----
  2       2
 d x     d y



原本 F(x) 是一個只有變數 x 的函數

對 x 做兩次全微之後必定還是只有變數 x 的函數

同理 G(y) 亦同

而一個 x 的函數和一個 y 的函數相同

唯一的機會就只有兩者皆為常數才行

因此才可以設出特徵值

而三種特徵值的情況又只有一種有非零解



要記住你的等號成立於「函數相等」而非單指「函數值相等」

因此只限定特定值的說法是無法成立的



: 代入波方程式 熱方程式什麼的
: 整理後寫成 F''(x)=G''(y)
: 這是工數課本上很常見的式子
: 其中一定會寫到：
: "因為變數已經分開了，左邊只有x，右邊只有y，固定y值
: 任意改變x值等號都會成立，於是他們必為常數"
: 於是令他們等於-k^2，然後就這樣解出F和G
: 如果用"結果論"來討論 是沒錯的...
: 我的疑問是 當初解這個方程式的人為什麼可以這麼肯定這個等號是"絕對成立"?
: 也就是不論怎麼改變x和y的值 等號恆成立....?
: 為什麼不會將等號認為是必須在特定的值才能成立的情況呢?
: 例如 f(x)=5x，g(y)=2y
: f(x)=g(y)，其中等號成立只限定在特定的值，例如x=1,y=2.5(或其他可能解)
: 等號才能成立，而不是"絕對成立"
: 很想知道當初解這個方程式的人為何可以這麼肯定等號是絕對成立的呢??
: 謝謝

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 114.34.133.34
推 funnypeter  :請問要怎麼知道等號是成立於函數相同而不是單指函數
→ funnypeter  :值呢? 我文章後面的f(x)=g(y) 為何我們知道那是單指
→ funnypeter  :函數值相同的情況而非函數相同?
→ endlesschaos:f(x)就是一個函數啊  f(1)才是指f(x)在 x = 1 時的函
→ endlesschaos:數值  所以當你寫出 f(x) = g(y) 時  其代表的意義就
→ endlesschaos:是「函數相等」而非「函數值相等」了  因為f(x)是對
→ endlesschaos:於所有的 x 代入都會滿足的函數式子  同理 g(y) 也是
推 funnypeter  :喔喔!!! 我明白了
→ funnypeter  :我一直以為那有可能是函數值相等的情況 不一定專指
→ funnypeter  :函數相同 原來是在這裡我搞錯等號的意義了 謝謝你!!
→ funnypeter  :奉上1000P 太感謝了
→ endlesschaos:感謝樓上