[微積] 積分問題

[pobm (大風起兮雲飛揚)]

a和r是constant

 2π        dθ
∫ ----------------------
 0  a^2 + 2arcosθ + r^2

其實是pde遇到的問題

我把下面換成(a+rcosθ)^2 + r^2 (sinθ)^2
還是沒辦法用1+(tanφ)^2做

可是老師說的好像是分母不管是1還是cos or sin都可以輕易積出來
請問該怎麼做呢

謝謝

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◆ From: 61.224.43.143
推 phs         :變數變換: cosθ=[1+tan(θ/2)^2]/[1-tan(θ/2)^2]
→ phs         :打反了:cosθ=[1-tan(θ/2)^2]/[1+tan(θ/2)^2]
→ phs         :再令 tan(θ/2) = t
推 jacky7987   :如果會複變的話可以令z=cosθ+isinθ
→ jacky7987   :可以轉換成單位元的線積分,然後再用留數定理
→ pobm        :會複變 但不是很明白J大的意思是要我積什麼
→ pobm        :應該說z要放在哪邊
→ jack7775kimo:我猜他應該是要講Cauchy積分公式<=>Poisson積分公式
推 jacky7987   :z=cosθ+isinθ  => cosθ=(z+z^{-1})/2
→ jacky7987   :dz=iexp(iθ)dθ  dθ=-iz^{-1}dz
推 jacky7987   :然後整個式子會變成 線積分 |z|=1
→ jacky7987   :int {1/[a^2+2ar(z+z^(-1)/2)+r^2]}*-iz^(-1)dz
→ pobm        :感謝j大 這招超級好用的!!!
→ pobm        :之前完全沒想到 複變都唸到狗身上去了XD
→ jacky7987   :我今天試著算過這題,似乎再用留數定理的時候會用到
→ jacky7987   :a和r的大小關係,所以可能跟你的PDE有點關聯(吧!?)
推 Frobenius   : = 2π/(a^2 - r^2)