Re: [中學] 資優試題

[JohnMash (Paul)]

※ 引述《ddrmatch ()》之銘言：
: 1. k為整數,z=k+0.5+(k^2+0.25)^0.5
:   求證z^n的整數部分能被k整除

   z=k+1/2+√(k^2+1/4)

   u=k+1/2-√(k^2+1/4)

   zu=(k+1/2)^2-(k^2+1/4)=k

   and z+u=2k+1.....................(1)

   z^2+u^2=(z+u)^2-2zu=(2k+1)^2-2k=4k^2+2k+1..........(2)

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  Claim. An(=z^n+u^n) is an integer for every n

  and An=1 (mod k)

     Proof.

     By (1) and (2), n=1,2 are valid

     Assume A_{n-1},An are integers and A_{n-1}=An=1(mod k).

     then A_{n+1}=z^{n+1}+u^{n+1}

           =(z^n+u^n)(z+u)-zu(z^{n-1}+u^{n-1})

           =An*(2k+1)-kA_{n-1}=1(mod k)

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    But, 0<u<1

    hence, [z^n]=An - 1 = 0 (mod k)




: 2.設M(p*2002, 7p*2002)其中p為質數且滿足
:   (1)三角形的三個頂點都是整數點,且M是直角頂點
:   (2)三角形內心座標為原點
:   滿足以上條件的直角三角形個數
: ANS:p=2時162個
:     p=7.11.13時180個
:     其他質數324個

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※ 編輯: JohnMash        來自: 112.104.172.39       (05/21 21:32)
推 ddrmatch    :非常感謝