[微積] 可微分性的充分條件

[andy2007 (...)]

各位前輩好，今日又要來麻煩各位前輩了

課本中有段句子看不怎麼懂，想請各位前輩們指點。


Larson 8th 微積分的 Section 13.4 Differentials 提到：


However, for a function of two variables, the extstence of

the partial derivatives fx and fy does not guaratee that

the function is differentiable.

( 雙變數函數存在 fx 和 fy 的偏微分，不能保證這個雙變數函數是可微分的 )

之後課本寫到

The following theorem gives a sufficient condtion for

differentiably of a function of two variables.

==

Theorem 13.4 Sufficient Condition for Differentiability

If f is a function of x and y, where fx and fy are continuous

in an open region R, then f is differentiable on R.


這定理是「可微分性的充分條件」

充分條件的定義為：

如果Ａ為前項，Ｂ為後項，則：有Ａ一定有Ｂ，但沒有Ａ則不一定有Ｂ（或沒有Ｂ）

這個定理的前項是

If f is a function of x and y, where fx and fy are continuous

in an open region R

後項是

than f is differentiable on R

如果有「f(x,y), fx and fy are continuous in an open region R」

那就一定有「f is differentiable on R」


那課本在之前所說的：

( 雙變數函數存在 fx 和 fy 的偏微分，不能保證這個雙變數函數是可微分的 )

不就很奇怪嗎？

========================

如果fx、fy偏微分存在

不也就代表了fx and fy are continuous in an open region R

那這樣不就一定會「f is differentiable on R」

怎麼又「不能」保證這個雙變數函數是可微分的？

如果不能保證，那充分條件又怎麼能成立呢？


不知道各位前輩們了不了解我的問題在哪，表達能力不太好 Orz

希望前輩們能替我指點迷津，再次感謝您們～



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.125.169.71
→ THEJOY      :fx,fy不見得連續
→ andy2007    :但是偏微分存在，不就代表連續嗎？
→ mk426375    :偏微分的存在跟原函數或偏微分的連續皆無關
推 mk426375    :多變數函數的連續是要對任何走到該點的路徑都連續，
→ andy2007    :感謝兩位前輩，我在陳立的微積分書籍看到了
→ mk426375    :而偏微分只討論"沿著平行某條座標軸的路徑"的情況
→ andy2007    :fx(a,b)、fy(a,b)存在，不一定f(x,y)在(a,b)可微分
→ andy2007    :f(x,y)在(a,b)可微分，一定fx(a,b)、fy(a,b)存在
→ andy2007    :所以說這個定理主要是要強調
→ andy2007    :fx and fy are continuous，除了fx fx存在以外，
→ andy2007    :還要在開區間中連續，這樣 f 才可以微分是嗎？
→ andy2007    :應該是說除了fx fy存在以外，f要在開區間中連續
推 mk426375    :原文的意思就是兩個一階偏微分連續啊...
→ andy2007    :喔喔，原來是兩個一階偏微分連續
→ andy2007    :兩個一階偏微分存在，有可能兩個一階偏微分不連續嗎
推 mk426375    :For example, f(x,y)=(x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2)).
→ mk426375    :check if fx and fy exist and if f is cont.at(0,0)
→ mk426375    :更正，上面的函數定義在(x,y)≠(0,0), f(0,0)=0
→ andy2007    :原來如此，我一直把偏微分存在 = 偏微分連續
→ andy2007    :這兩個不同的想法混為一談，真是大錯特錯Orz
→ andy2007    :再次感謝mk426375前輩～
推 jollic      :沒人注意到"than"嗎  XDDDD
推 peicachu    :我只發現有一些英文單字打錯XD
※ 編輯: andy2007        來自: 140.125.169.71       (05/23 10:21)
→ andy2007    :尷尬！趕緊改回來
→ andy2007    :附上高老師的解釋 http://ppt.cc/SK3O
→ andy2007    :不好意思再問個問題：定義所說的 fx and fy are
→ andy2007    :continuous in an open region R 的意思是
→ andy2007    :fx和fy要在開區間中連續，這裡的意思是二階偏微分要
→ andy2007    :存在，fxy(x,y) = fyx(x,y) 是嗎？
→ andy2007    :或是說只要fx、fy極限值等於fx、fy函數值就可以了？
→ andy2007    :找到答案了，fx、fy在開區間中的任意(a,b)點
→ andy2007    :極限值等於函數值，就是fx、fy連續了
→ andy2007    :感覺好像又有錯誤，極限存在不一定連續，但是可微分
→ andy2007    :就一定連續，所以應該是fxy(x,y) = fyx(x,y)才對
推 mk426375    :極限值等於該點函數值就是連續了
→ andy2007    :謝謝前輩，但是極限存在不一定連續，是否要把這種
→ andy2007    :情況排除掉比較好呢？
推 endlesschaos:為什麼f(a,b)可微分  fx(a,b)或fy(a,b)不一定存在？
→ endlesschaos:fx(a,b)和fy(a,b)不就是f(a,b)沿著 x = c 或 y = c的
→ endlesschaos:方向微分的值嗎？既然各個方向都連續可微  沒道理偏x
→ endlesschaos:和偏y不存在吧
→ endlesschaos:歹勢看錯行  多看了一個「不」字