推 clawer :非常謝謝你! 看來我還有很多要學:) 05/23 16:25
推 Bourbaki :推這篇 老實說我一直懷疑沒有1的環到底是幹嘛用的 05/24 00:53
→ TassTW :在泛函中有用 05/24 08:41
※ 引述《clawer (爪爪)》之銘言：
: 最近看了兩本環論的書
: 作者分別是T.Y.Lam跟P.M. Cohn
: 他們的環定義上都是有1的
: 但是比較早期一點
: 像是Herstein跟McCoy的書則沒有這樣做
: 學校老師上課也是選擇從沒有1的環出發
: 我心理的問題是
: 為什麼現在看到的書中
: 環的定義似乎都有1?
: 我認為應該不只是有了1就比較簡單XD
: 代數課有學過環都可以塞到一個有1的環裡面
: 不過我不確定這是否可以扯上關連(我有點駑鈍抱歉..)
: 是否在透過某個途徑下
: 大多沒有1的環都可以透過有1的環的處理方法來做一樣的問題?
: 衍伸的問題 像是看到Jacobson radical的幾個等價定義
: 有沒有1的環好像都"稍微"不同?
: 感謝各位能夠提供我協助
: 非常謝謝!
1.
在你理論面讀得很起勁的時候, 千萬不要忘記實例.
人類發明環論是為了處理手上活生生的問題,
而不是突發奇想蓋一個空中樓閣, 發明一個理論來討論"不知道是什麼的環"
從 formal definition 出發瞭解環, 我認為是倒果為因
是因為數學家在解決問題的同時, 體會到了該結構共有的潛在特性,
嘗試把他寫下來才有了 formal definition
2.
Unital ring 的重要實例如下:
1829 Gaussian Integers Z[i]
1843 Hamilton quaternion
1855 Matrix ring
1870 Polynomial ring
--------------------
1914 Fraenkel 給了 ring 的定義
這幾十年的發展中, ring 都是自然要有 1 的,
(注意到即使他們都有 1, 交換與否對於那些環的結構差異甚大)
3.
Non-unital ring (或有人稱 rng: ring without identity....)
這部份的歷史我沒有那麼熟,
就我所知他有用的地方就是 functional analysis, 大概 1930 以後才開始發展
所以雖然都在同一個大纛 (ring) 底下,
發展理論的目的差距很大.
雖然 rng 都可以 embed 到 ring 中,
但是我很懷疑這能有什麼用 (有專家可以說明嗎?)
另外, 許多 ring 上的定義(如你所說的 Jacobson radical), 在 rng 上的定義
略有不同, 仔細一看可以知道他們大多是要排除一些特例, 沒什麼了不起的
4.
打個比方,
我們知道 group without 1 叫做 semigroup
我們不會去爭辯 semigroup 才應該叫做 group
也不會去想說 "把 semigroup 塞到 group " 來 "處理" semigroup
回歸基本面,
如果你要從 rng 開始學,
我想最重要的就是知道 rng 的重要例子 (撇除很白痴的 2Z ... etc)
然後知道把 1 拿掉, 在泛函分析上對你有什麼好處
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「小孩子讀什麼老人與海？魚都被吃光了，那個老人是笨蛋嗎，只剩個魚頭也還硬要拖
回岸上。小孩子讀什麼白鯨記？不過是一條魚，那個船長是白痴嗎，為了一條魚把大家的
生命都賭進去。」
「過程比結果重要，教官總是這樣說。雖然我們心知肚明，沒有人能這樣這麼豁達。但
是結果既然不可控制，那至少不要讓自己後悔。」
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