Re: [微積] 可微分性的充分條件

[mk426375 (時雨)]

※ 引述《andy2007 (...)》之銘言：
: 標題: [微積] 可微分性的充分條件
: 時間: Sun May 22 23:16:07 2011
:

(吃光光)

: → andy2007    :不好意思再問個問題：定義所說的 fx and fy are       05/23 14:00
: → andy2007    :continuous in an open region R 的意思是            05/23 14:01
: → andy2007    :fx和fy要在開區間中連續，這裡的意思是二階偏微分要   05/23 14:01
: → andy2007    :存在，fxy(x,y) = fyx(x,y) 是嗎？                   05/23 14:04
無關，但是在某點二階偏微皆可交換可保證f在該點連續

: → andy2007    :或是說只要fx、fy極限值等於fx、fy函數值就可以了？   05/23 14:06
: → andy2007    :找到答案了，fx、fy在開區間中的任意(a,b)點          05/23 14:18
: → andy2007    :極限值等於函數值，就是fx、fy連續了                 05/23 14:18
yes.
: → andy2007    :感覺好像又有錯誤，極限存在不一定連續，但是可微分   05/23 14:36
: → andy2007    :就一定連續，所以應該是fxy(x,y) = fyx(x,y)才對      05/23 14:37
: 推 mk426375    :極限值等於該點函數值就是連續了                     05/23 14:46

回到定義
f為一個多變數函數
如果對於任意的ε>0, 存在有δ>0使得
對所有在0<||x-a||<δ,皆有|f(x)-L|<ε
則我們說f在a點的極限存在且為L，記成
lim f(x) = L.
x->a

如果這個L剛好又等於f在a點的取值f(a)，
則我們說f在a點連續。

在某一點"可微分則必連續"
這個定理對於單變數或多變數函數皆成立
但是，偏微分不是多變數函數的微分

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這邊Salas的課本有提到兩個定理：

Let f: D(包含於|R^n) → |R be a function and a屬於D

Thm 1.
If all second order partial derivatives of f are continuous
at a, then fx_ix_j(a)=fx_jx_i(a) for all i,j = 1,...,n.

Thm 2.
If all second order partial derivatives of f exist at a
with fx_ix_j(a)=fx_jx_i(a) for all i,j = 1,...,n, then
f is continuous at a.

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◆ From: 140.114.201.140
※ 編輯: mk426375        來自: 140.114.201.140      (05/23 15:04)
※ 編輯: mk426375        來自: 140.114.201.140      (05/23 15:15)
※ 編輯: mk426375        來自: 140.114.201.140      (05/23 15:22)
推 andy2007    :謝謝前輩，偏微分不是多變數函數的微分
→ andy2007    :所以fx和fy在區間上的任何一點(a,b)，只要滿足
→ andy2007    :在(a,b)點 fx和fy的極限值 = 在(a,b)點的函數值
→ andy2007    :就一定連續嗎？我搞不清楚為什麼不需要考慮
→ andy2007    :「極限存在不一定連續」，還是說只要極限值和函數值
→ andy2007    :相等，那就是連續了。
連續的定義就是這樣啊
會說極限值存在不一定連續的原因就只是
那個極限值L不見得會等於該點的函數值
(可能函數在該點無定義或是跳到L之外的其他點)
可以回去看看我們最一開始是如何定義單變數函數的極限與連續

→ andy2007    :偏微分不是多變數函數的微分，那是什麼類型的微分？
粗淺的說只是對某一個變數(沿著平行某一座標軸的方向)作微分

後面會講到多變數的微分是Gradient
其實也就是對每一個變數個別偏微分之後所形成的向量

→ andy2007    :喔喔，我搞糊塗了，極限值等於函數值便為連續。
→ andy2007    :極限值存在，但是如果不等於函數值，那就不連續了。
→ andy2007    :例如xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) if (x,y)≠(0,0)
→ andy2007    :              0           if (x,y)＝(0,0)
→ andy2007    :fx(x,y)在(0,0)函數值=0 fx(x,y)在(0,0)極限值=0/0
0/0 無定義
→ andy2007    :在(0,0)的函數值不等於在(0,0)的極限值，所以fx在
→ andy2007    :(0,0)這點不連續，這樣子想可以嗎？
理論上沒錯
→ andy2007    :更正 : fx(x,y)在(0,0)極限值不可以直接代入(0,0)
→ andy2007    :還沒想到如何檢驗fx(x,y)在(0,0)極限值不等於函數值
→ andy2007    :但是如果使用fxy(0,0)≠fyx(0,0)則會快速很多~
我不知道有沒有這樣的定理可以檢驗@@...
※ 編輯: mk426375        來自: 140.114.201.140      (05/23 21:14)
推 andy2007    :謝謝前輩，我是在尋找fx(x,y)在(0,0)極限值
→ andy2007    :但是用曲線y=mx逼近也沒辦法得出個結果Orz