Re: [代數] 關於環(ring)的問題

[herstein (翔爸)]

※ 引述《TassTW (為文載道尊於勢)》之銘言：
: ※ 引述《clawer (爪爪)》之銘言：
: : 最近看了兩本環論的書
: : 作者分別是T.Y.Lam跟P.M. Cohn
: : 他們的環定義上都是有1的
: : 但是比較早期一點
: : 像是Herstein跟McCoy的書則沒有這樣做
: : 學校老師上課也是選擇從沒有1的環出發
: : 我心理的問題是
: : 為什麼現在看到的書中
: : 非常謝謝!

有沒有1就單看你的用途。


: 1.
: 在你理論面讀得很起勁的時候, 千萬不要忘記實例.
: 人類發明環論是為了處理手上活生生的問題,
: 而不是突發奇想蓋一個空中樓閣, 發明一個理論來討論"不知道是什麼的環"
: 從 formal definition 出發瞭解環, 我認為是倒果為因
: 是因為數學家在解決問題的同時, 體會到了該結構共有的潛在特性,
: 嘗試把他寫下來才有了 formal definition
: 2.
: Unital ring 的重要實例如下:
:     1829 Gaussian Integers Z[i]
:     1843 Hamilton quaternion
:     1855 Matrix ring
:     1870 Polynomial ring
:     --------------------
:     1914 Fraenkel 給了 ring 的定義
: 這幾十年的發展中, ring 都是自然要有 1 的,
: (注意到即使他們都有 1, 交換與否對於那些環的結構差異甚大)
: 3.
: Non-unital ring (或有人稱 rng: ring without identity....)
: 這部份的歷史我沒有那麼熟,
: 就我所知他有用的地方就是 functional analysis, 大概 1930 以後才開始發展
: 所以雖然都在同一個大纛 (ring) 底下,
: 發展理論的目的差距很大.
: 雖然 rng 都可以 embed 到 ring 中,
: 但是我很懷疑這能有什麼用 (有專家可以說明嗎?)
: 另外, 許多 ring 上的定義(如你所說的 Jacobson radical), 在 rng 上的定義
: 略有不同, 仔細一看可以知道他們大多是要排除一些特例, 沒什麼了不起的
: 4.
: 打個比方,
: 我們知道 group without 1 叫做 semigroup

半群的結構是一個具有運算結合律的集合，沒有辦法定義逆，當然沒有1就沒有辦法定義
逆，只是通常我不太會說半群是不含1的群，這樣有點怪XD，因為他本來就不是群。有時
候我們可以允許半群有單位元，只是不一定有逆。具有單位元的半群又叫做monoid。

: 我們不會去爭辯 semigroup 才應該叫做 group
: 也不會去想說 "把 semigroup 塞到 group " 來 "處理" semigroup

這一點有點不太對，很多時候把半群塞到群這樣的想法是非常有用的。是把交換的半群塞
到阿貝爾群的構造就叫做葛羅森狄克構造(Grothendieck construction)。拓樸K理論或代
數K理論的基礎就是來自於這樣的構造方法。舉例來說，考慮影射模(projective module)
的範疇，把同構的影射模視為等價。定義[P]+[Q]=[P⊕Q]。這種運算在同構的影射模裡是
構成加法半群的，用葛羅森狄克構造之後就得到所謂的K_0群。



: 回歸基本面,
: 如果你要從 rng 開始學,
: 我想最重要的就是知道 rng 的重要例子 (撇除很白痴的 2Z ... etc)
: 然後知道把 1 拿掉, 在泛函分析上對你有什麼好處

也不是說把1拿掉在泛函分析是會有甚麼好處，而是在處理連續函數所形成的環C(X)時，
具不具有1就成了一個自然的現象。當X是局部緊緻而非緊緻(locally compact but
noncompact)的時候，在無窮遠處為零的連續函數所形成的環自然是一個交換且沒有1的C*
代數(C* algebra)。(這個形成的過程並不是來自於刻意的把1給拿掉。)當然沒有1並不是
甚麼太大的問題。

古典拓樸學中，我們可以把局部緊緻但非緊緻的空間給單點緊緻化(one point compactif
-ication)，也就是把無窮遠點給加進去。換句話說，把局部緊緻化空間給緊緻化之後，
X^=X∪{∞}成為緊緻空間。把C_0(X)視為C(X^)的一個向量子空間，同時也是一個極大的
閉*主理想(*closed maximal ideal)。常數函數並不存在於C_0(X)裡，而C(X^)有。這樣
的考量是非常自然的。

附註:
(1)C_0(X)就視為C_0(X)={f:X^-> C: f(∞)=0}
(2)C(X^)的最大主理想(closed * maximal ideal)都是形如{f:X-> C: f(x_0)=0}。這個
又稱為Gelfand-Naimark對應。在加上Zariski的工作，身為泛函分析學家的葛羅森狄克在
代數幾何學上有著重要的突破與影響。這就有待於板上的代數幾何學家為我們解說。

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 128.120.178.219
推 THEJOY      :推!請問，半群理論在泛函分析裡面是不是用到相當多？
因為半群理論根熱方程是有極大的關聯，所以當然是在解PDE中
(線性拋物方程)扮演著重要的角色。

推 CNSaya      :推
※ 編輯: herstein        來自: 169.237.31.142       (05/24 06:53)
推 TassTW      :受教了!
→ jacky7987   :推這篇
推 Madroach    :神又出現了 快拜
→ xcycl       :緊緻化的作法不只加一點一種，這樣講有誤導之嫌 ^^;
correct~~~其他像Stone-Cech compactification也是有其分析上的用途。在此我
特別指的是單點緊緻化。例如考慮C_b(X)有界連續函數所形成的環，他對應的就是
Stone-Cech compactification。 所以當我的連續函數的環是指定C_0(X)時，其
緊緻化指的便是單點緊緻化(One Point Compactifiction)，從環的角度來看，
其對應的緊緻化是很清楚的。並不會誤導。

     環                     緊緻化(Gelfand Spectrum)

    C_b(X)         <->     βX (Stone-Cech)

    C_0(X)         <->     X^ (One Point Compactification)

當你的空間是局部緊致非緊緻，C_0(X)是不包含於1。你考慮的環如果是C_b(X)，
那麼此環就包含1。對應的Gelfand譜是不同的。儘管有不同的緊緻化，但在處理
不同的環時，我們還是知道何時候會用到哪一種緊緻化(當然不同的緊緻化，是
用來處理不同的問題)。

當然為了讓讀者更清楚，我還是加上單點緊緻化，以免產生誤解。
※ 編輯: herstein        來自: 128.120.178.219      (05/25 12:12)
推 snaredrum   :Grothendieck被這樣翻譯成中文挺有趣的.. XD