推 TassTW :感謝您 :) 05/24 10:31
→ herstein :切磋切磋~~~ 05/24 11:27
※ 引述《TassTW (為文載道尊於勢)》之銘言：
: ※ 引述《herstein (翔爸)》之銘言：
: : 這一點有點不太對，很多時候把半群塞到群這樣的想法是非常有用的。是把交換的半群塞
: : 到阿貝爾群的構造就叫做葛羅森狄克構造(Grothendieck construction)。拓樸K理論或代
: : 數K理論的基礎就是來自於這樣的構造方法。舉例來說，考慮影射模(projective module)
: : 的範疇，把同構的影射模視為等價。定義[P]+[Q]=[P⊕Q]。這種運算在同構的影射模裡是
: : 構成加法半群的，用葛羅森狄克構造之後就得到所謂的K_0群。
: 討教一下, 我所學過的 Grothendieck group K(C),
: 都是建構自考慮整個 module category C,
: 講整個好像不精確, 應該說不會特別區分 projective 與否,
: 總之手段是操作這個 group level structure
: 目的也是告訴我們 module category 的訊息,
: 比方說在某些條件下 isomorphism as grothendieck groups
: 可以得到 inverse equivalence as categories
: 不會再回到 C 的 projective modules 了
: 特別看 projective modules 除掉和 K(C) 相同的 relation 這個 semigroup
: 的目的是什麼呢?
基本上Grothendieck Construction對任何的交換半群都可以，所以不限於
影射模。我只是把當初代數K理論的源頭給大家講講，一開始就是考慮影射模，
發現影射模的加法具有半群的結構，到後來Atiyah, Hirzebruch等人利用
類似的概念發展了拓樸K理論，概念是相當類似的。
如果考慮X是一個緊緻的拓墣空間，並且定義Vect(X)是在X上所有同構的
向量叢所生成的集合，定義[E]+[F]=[E⊕F]，那麼Vect(X)構成一個加法半群。
他的葛羅森狄克群就稱之為K^0(X)。影射模跟向量叢有很有趣的對應關係。
如果E->X是定義在X上的一個向量叢，記Γ(E)為E上所有的截面所形成的向量
空間，那麼Γ(E)就是交換環C(X)的影射模。所以算子代數學家就把影射模看
成是向量叢。
projective modules <=> vector bundles
在算子代數裡面也是有使用這個概念來定義算子代數的不變量的，也稱為
算子代數的K_0群。這裡的K_0是AF代數的不變量，AF代數簡單來說就是由
矩陣代數的極限所定義出來的非交換C*代數。這裡的K_0群是由算子代數學
家Elliot所引進的。想法跟構造方法類似於葛羅森狄克的構造。
談影射模的範疇是有其歷史意義，其幾何意義就是空間上的向量叢。
這些概念都很深刻的影響了近代幾何學的發展，而Alain Connes的
非交換微分幾何也是以此為基礎做出發的。
當然你可以在其他範疇定義葛羅森狄克建構，我們總是希望我們做的
東西有意義，而不是單純的搞定義生定理。總是"心裡面存在著某些
問題想解決"，所以才會產生這些數學的定義。
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