[理工] [微積分]-隱函數之微分理論

[caregix (人心歸善)]

※ [本文轉錄自 Grad-ProbAsk 看板 #1DsyN6YE ]

作者: caregix (人心歸善) 看板: Grad-ProbAsk
標題: [電機] [微積分] [隱函數之微分理論]
時間: Tue May 24 22:50:44 2011

※ [本文轉錄自 graduate 看板 #1Dsy7juL ]

作者: caregix (人心歸善) 看板: graduate
標題: [問題] 關於偏微分產生的chain rule問題
時間: Tue May 24 22:34:19 2011

剛剛解到有一題題目感覺很奇怪~~想了好幾個小時想不通QQ
所以希望請板上的高手指點一下 囧a
我用的書本是劉明昌的工程數學學習要訣第零章的部分...

卡住的地方是關於偏微的時候要不要考慮chain rule的問題
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題目:設z+ln(z)=xy,求Zx及Zxy~
(註:Zx就是Z對x取偏微,Zxy則是Z對x取完偏微再對y取偏微)
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解題過程:

此題是隱函數的型式,根據推導出來的公式可以知道:
Zx = -Fx/Fz  其中F(x,y,z) = z+ln(z)-xy = 0,Fx則是F對x取偏微,Fz是F對z取偏微

如此可得知Zx = -(-y)/(1+1/z) = (zy)/(z+1)  (在此請容許我令(zy)/(z+1)=G(z,y,z))

Zx的答案與書本上解答的計算方式與答案皆完全相同~~
希望各位注意一下此處 Fx的計算方式 與 Fx之計算結果
因為這正是我要問的問題的關鍵之一 QQ
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接著要求Zxy~而此時我理所當然的直接將上式所求得的Zx(即G)直接再對y取偏微
得到Zxy = Gy = z/(z+1)的簡單答案~~~

正當高興這題如此簡單時我看到書本上寫著

"此時不能直接對前面求得的Zx(即G)對y取偏微"...

呃~再瞄瞄此題的難度說明註明著 "易錯題"...  囧rz...

答案中寫著原因:原因是z=z(x,y)  囧a

然後答案在偏微過程中也把z視為變數繼續計算下去!

當下覺得非常奇怪~~
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因為之前特別注意完全微分與偏微分的差別與定義
               (總偏導數)(偏導數)
其中取偏微分的過程中"須把其他所有變數皆視為常數",只把要取偏微的變數視為變數

例如chian rule章節中有舉到一個通式的例子:
f=f(x,y,z),z=z(x,y),則F(x,y,z)對x,y之導數為:
df/dx = Fx+Fz*Zx       (Fx Fz Zx代表大寫字母對小寫字母取偏微)
df/dy = Fy+Fz*Zy
由以上二式可以看出求取總偏導數時候有(必須)把z=z(x,y)的鍊鎖效應考慮進去
我所指的就是 "Fz*Zx" 和 "Fz*Zy" 這二個部分
由此也可知上面df/dx右式中的Fx自然應該在計算過程中把z的部分視為常數! Fy亦同!
否則整個式子感覺會非常不合理

在一開始我所提到的題目裡面計算Zx的過程中有出現Fx
Fx在計算過程中也把z當成常數項來計算!!

在下面這個例題中的計算過程裡面,Fx和Fy計算時都把z項視為常數!
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同一本書的基本題例題...:
     設F(x,y,z)=2x^2+xz+2y^2,令z(x,y)=x^3+y^3,求F對x取偏微分等於?

同一本書的解答:
     df/dx = Fx+Fz*Zx = (4x+z)+x*3x^2 = 4x^3+y^3+4x
     df/dy = Fy+Fz*Zy = (4y)+x*3y^2 = 3xy^2+4y
我想此處看得很明白了....題目也有說明z=z(x,y)=x^3+y^3
但是在計算偏微分的時候Fx和Fy都是把z當成常數項看待
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現在回到一開始的問題...............

為什麼最上面那題的Zxy(即Gy)不能直接把z當成常數項看待..................

雖然剛剛在打這篇文章的時候想到說不定是這題z本身對其自變數(二次)取偏微
因此才會有這種現象

但是如果我單純的把Zx視為一個新的G(x,y,z)也並無不可,這樣的話上面那二行感覺
就說不通了= =""

目前我想到有可能造成F對y(或x)取偏微與G對y(或x)取偏微計算過程不一樣的關鍵

只有F=0而G應該並不等於0,不知道是不是這點造成了差異,是的話又是如何造成Orz......


今晚光是想這個問題其他都不用念了(超想哭泣)QQ
希望各位高手指點一下QQ

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※ 編輯: caregix         來自: 111.251.100.173      (05/24 22:36)
→ shiunjenn:似乎走錯地方
推 bat205:Grad-ProbAsk
→ caregix:謝謝QQ
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→ caregix:QQ 這邊人好少
→ a016258:你還有 Math 板...
→ caregix:謝謝QQ
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