推 Lindemann :推,泛函的書基本上都會有這個證明(我是看控制系的書) 05/25 02:36
推 newton2009 :'必'區間 -> '閉'區間 05/25 10:26
推 lyndon918 :大感謝!!先推再來仔細研究XD 05/26 02:14
※ 編輯: herstein 來自: 128.120.178.219 (05/26 08:49)
※ 引述《lyndon918 (靈頓918)》之銘言：
: 跪求版上大神
: 如何證明勒讓德多項式的完整性?
: 查了幾本原文書(boyce、 cullen、 kreyszig等)
: 發現都沒有這個證明(正交性證明很常見，不知為何沒有證明完整性)
: 很想知道如何證明@@
: 或者有大大知道應該查哪本書裡會有
: 感激不盡!
: 附上完整性的定義:
: 考慮區間[a,b]上的一組正交特徵函數{P_n(x)}，對一在區間中性質不比間斷連續差的函數
: b N 2
: f(x)，使得 lim S [f(x)- sigma(c_n P_n(x))]=0 恆成立，則稱此正交特徵函數在
: N->OO a n=1
: [a,b]上具有完整性。 b
: S f P_n(x) dx
: a
: 其中c_n= -----------------
: b 2
: S P_n(x) dx
: -- a
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基本上這個完整的證明需要用到Weierstrass Approximation Theorem(任何定義在有界閉
區間上的函數都可以被多項式一致逼近)。任何片段連續的函數，跟連續函數的差異只有
一點點，所以你可以用連續函數逼近片段連續的函數。所以是做兩個逼近。
假如你的f是原給定的函數，給一個正數ε，取一個連續函數g使得
b
∫ |f(x)-g(x)|^2 dx <ε^2/4
a
再利用多項式的稠密性可知，可以找到一個多項式p使得
max |g(x)-p(x)|< ε/2
x in [a,b]
所以你可以先證明這個定理對多項式對，接著證明此定理對連續函數對，最後再利用平方
積分的最小平方的性質(least square)證明對一般的函數對。
這證明應該在Hilbert and Courant的Method of Mathematical Physics有。
基本上其他直交函數的完備性證明都是類似於這種方法，而函數的逼近是利用
更廣義的Stone-Weierstrass定理證明。
還有另外一種可以利用分析學上的一個技巧"Approximation of Identity"。
這也可以。
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