Re: [中學] 多項式

[jameschou (DOG)]

※ 引述《RainIced (我好想念快速的宿網)》之銘言：
: 想問這兩題應該如何算，謝謝。
: 1.設 f(x)為一多項式，已知(x-1)f(x)除以 x^2-2x+2的餘式為3x+4，
:   求f(x)除以 x^2-2x+2 的餘式。
: ans:-7x+10

設 f(x) 除以 x^2-2x+2的餘式為ax+b

=>  f(x) = (x^2-2x+2)Q1(x) + (ax+b)

將f(x)代入題目條件可得

=> (x-1)(ax+b) = (x^2-2x+2)Q2(x) + 3x+4

=> ax^2 + (b-a)x -b = a(x^2-2x+2) + (a+b)x + (-2a-b)

=>  a+b = 3
  -2a-b = 4

解出a=-7  b=10

=> 得到餘式為-7x+10

: 2.設方程式 7x^2-(k+13)x+k^2-k-2=0 有二實根 a,b，0<a<1<b<2，
:   求實數k 的範圍。
: ans:-2<k<-1 or 3<k<4
: 這一題我使用
:    1 < a+b < 3 ,
: => 1 < (k+13)/7 < 3
: => -6 < k < 8
:    0 < ab < 2
: => 0 < (k-2)(k+1)/7 < 14
: => ......
: =>
: 失敗.......

這題我會直接用勘根定理

x代入0 => 7x^2-(k+13)x+k^2-k-2 = k^2-k-2
x代入1 => 7x^2-(k+13)x+k^2-k-2 = k^2-2k-8
x代入2 => 7x^2-(k+13)x+k^2-k-2 = k^2-3k
x代入無限大 => 7x^2-(k+13)x+k^2-k-2 > 0
x代入負無限大 => 7x^2-(k+13)x+k^2-k-2 > 0

=> k^2-k-2 > 0
且 k^2-2k-8 < 0
且 k^2 -3k >0

=> (k-2)(k+1) > 0
且 (k-4)(k+2) < 0
且 k(k-3) > 0

=>  (k>2 or k<-1) 且 (-2<k<4) 且 (k<0 or k>3)

得-2<k<-1 or 3<k<4

(這邊把數線畫出來取交集就很容易看了)


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◆ From: 140.113.139.82
推 RainIced    :感謝! => (x-1)(ax+b) = (x^2-2x+2)Q2(x) + 3x+4
→ RainIced    :這一行如何得知？
推 RainIced    :已解決。