[分析] x^(-1/2)在[0,1]是可積的嗎?

[bineapple (パイナップル)]

如題 我們定義被積的函數在0點值為0

如果用Riemann integration原本的定義

應該是不可積的 因為x^(-1/2)在0的neighborhood是unbounded

所以任何partition的upper sum都會是infinity

可是如果從反倒數來算 先算x^(-1/2)在[1/n,1]的積分值 也就是2-2 √(1/n)

然後讓n跑到無窮大 又能得出一個"2"的值

想請問這中間有什麼矛盾的地方嗎?

而lesbegue integration的情況又如何呢?

我想應該是可以積而且積出來是2吧 用Levi's theorem就可以嘞

想請問有沒有哪裡錯誤的嗎? 謝謝!

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◆ From: 210.69.35.10
※ 編輯: bineapple       來自: 210.69.35.10         (05/25 17:04)
→ wickeday    :黎曼積分本來就是定義在bounded的函數上的
→ wickeday    :一個函數沒bounded請用瑕積分來看。
→ bineapple   :所以這個case在瑕積分的情形下是有定義的囉?
→ jack7775kimo:其實我不久前才犯下跟你一樣的錯誤想法XD
→ jack7775kimo:我考慮一個有oscillation-cancellation的瑕積分
→ jack7775kimo:(比如說Dirichlet積分) 然後去partiton[0,無窮)後
→ jack7775kimo:取正的值的部分相加 然後就爆炸了XD