※ 引述《RainIced (我好想念快速的宿網)》之銘言：
: 這一題請問該如何證明？謝謝。
: 證明方程式 x^4 x^3 x^2 沒有實根。
: ------ - ------- + -------- -x + 1 =0
: 24 6 2
: ---------
: 本來想用微分證明，證明最小值為正，
: f(x) = x^4 /24 - x^3 /6 + x^2 / 2 -x +1
: f'(x) = x^3 /6 - x^2 /2 + x -1
: if f'(x) =0
: <=> x^3 - 3x^2 + 6x - 6 = 0
: 解不出有理根.......
沒關係，還是可以繼續
f"(x) = x^2 /2 - x +1
= 1/2 * (x-1)^2 +1/2
f" 恆正，所以 f' 嚴格遞增自負無限大至正無限大 => f' 有唯一實根 c
又知道 f'(2) = 1/3, f'(1) = -1/3
所以 1 < c < 2
另外，x = c 時 f 有最小值
理由：只有這裡可能發生極值，而且 f"(c) > 0，所以是極小
因為 0 = f'(c) = c^3 /6 - c^2 / 2 +c -1
所以 f(c) = c^4 /24 - c^3 /6 + c^2 / 2 -c +1
= c^4 /24 - (c^3 /6 - c^2 / 2 +c -1)
= c^4 /24
> 1/24
故 f(x) > 1/24
那就不可能是 0 了
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.248.10.185