Re: [微積] 請教一題積分

[stevelu (餅乾)]

※ 引述《calculusbat (Renew)》之銘言：
: 試導出下面等式
:        ∞  -at        x              -x^2           -x(2a)^(1/2)
:      ∫   e   ----------------- exp(-------) dt = e
:        0        t(2πt)^(1/2)         2t
: 這題想了很久，還是不知道怎麼做...
: 希望板上高手可以教一下
: 謝謝



  ∞  -at        x              -x^2
∫   e   ----------------- exp(-------) dt =
  0        t(2πt)^(1/2)         2t


- d    ∞  -at      1              -x^2
---- ∫   e   --------------- exp(-------) dt =
 dx    0       (2πt)^(1/2)         2t


(抱歉實在不太會打算式= =)

http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

接下來就是用傅立葉轉換

上面那個維基網站中有個表 square integrable functions

先用206把積分中的高斯分部用他的inverse FT表示

你會發現exp()裡面的 t 跑到分子了

現在整個積分是個雙重積分

然後先對t做積分

積出來會有一個 1/(2a + w^2) 項

再用同表格裡的207 對w積分

最後再對x做個微分就結束了

不過這裡x好像要令為正數

因為你可以看到207式的函數是exp(-a|x|) 有個絕對值

試試看吧~

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◆ From: 114.43.186.215
推 calculusbat :我沒學過傅立葉轉換...
推 calculusbat :可不可以用普通的變數變換做呢?
推 calculusbat :還有那個inverse FT這是什麼?
→ stevelu     :FT(Fourier transform) 傅立葉轉換
→ stevelu     :inverse FT 是傅立葉反轉換
→ stevelu     :變數變換的方式我也沒有想到
推 calculusbat :好吧謝謝@@