Re: [中學] 直角三角形的外接圓、內接圓半徑的關係

[eggsu (數學一等兵)]

※ 引述《Annihilator (> No LOVE (%))》之銘言：
: ※ 引述《eggsu (數學一等兵)》之銘言：
: :         請教大家一個問題：
: :         直角三角形，內切圓半徑r，外接圓半徑R
: :         證：R+r > √(2倍三角形面積)
: 令面積為T之直角三角形的兩股邊長為a,b且對應角為A,B  ( A+B=90°)
: 則
: a/sinA = b/sinB = 2R
: 因此
: R^2 = ab/(4sinAsinB) = (ab/2)/(2sinAcosA) ≧ T  (1≧sin2A=2sinAcosA)
: 同時
: 2Rr + r^2 = T
: 因此
: (R+r)^2 = R^2 + 2Rr + r^2 ≧ 2T
: 即
: R+r ＞ √(2倍三角形面積)

        令直角三角形的兩股為 a、b，斜邊為 c

        則 2R = c，得 R = c/2
        又 r = (a+b-c)/2
        且 2倍三角形面積 = 2*(ab/2) = ab

        故 R + r = c/2 + (a+b-c)/2 = (a+b)/2 ≧ √(ab)

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