→ Annihilator :以上是不嚴格的... 05/29 02:52
推 calculusbat :感謝...怎麼說不嚴格? 05/29 16:07
→ calculusbat :看起來好像沒什麼問題XD 05/29 16:08
→ calculusbat :還有我第一次看到Laplace dis.... 05/29 16:09
※ 引述《stevelu (餅乾)》之銘言：
: ※ 引述《calculusbat (Renew)》之銘言：
: : 試導出下面等式
: : ∞ -at x -x^2 -x(2a)^(1/2)
: : ∫ e ----------------- exp(-------) dt = e
: : 0 t(2πt)^(1/2) 2t
: : 這題想了很久，還是不知道怎麼做...
: : 希望板上高手可以教一下
: : 謝謝
: ∞ -at x -x^2
: ∫ e ----------------- exp(-------) dt =
: 0 t(2πt)^(1/2) 2t
- d ∞ -at 1 -x^2
---- ∫ e --------------- exp(-------) dt = ＊
dx 0 (2πt)^(1/2) 2t
: (抱歉實在不太會打算式= =)
: http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform
: 接下來就是用傅立葉轉換
: 上面那個維基網站中有個表 square integrable functions
: 先用206把積分中的高斯分部用他的inverse FT表示
: 你會發現exp()裡面的 t 跑到分子了
: 現在整個積分是個雙重積分
: 然後先對t做積分
: 積出來會有一個 1/(2a + w^2) 項
: 再用同表格裡的207 對w積分
: 最後再對x做個微分就結束了
: 不過這裡x好像要令為正數
: 因為你可以看到207式的函數是exp(-a|x|) 有個絕對值
: 試試看吧~
嗯,用機率的c.f.:C[]或m.g.f.:M[]來解釋好了
1 -x^2
令 f(x;σ^2=t) = -------- exp(------), that is, f is pdf of some normal dis.
√(2πt) 2t
設
∞
L(a;x) = ∫a˙exp(-at)f(x;t)dt ( 謎之音, L是... )
０
對L的x變數求c.f.或m.g.f., 形式如下
∞ ∞ ∞
C [L(a;x)] = ∫exp(isx)L(a;x)dx = ∫a˙exp(-at)[∫exp(isx)f(x;t)dx]dt
X -∞ ０ -∞
或者
∞ ∞ ∞
M [L(a;x)] = ∫exp(sx)L(a;x)dx = ∫a˙exp(-at)[∫exp(sx)f(x;t)dx]dt
X -∞ ０ -∞
因為Normal dis.的c.f.為exp(iμs-σ^2s^2/2)及m.g.f.為exp(μs+σ^2s^2/2)
http://en.wikipedia.org/wiki
/Normal_distribution#Characteristic_function_and_moment_generating_function
所以
∞ ∞
C [L(a;x)]=∫a˙exp(-at)exp(-t˙s^2/2)dt =∫a˙exp[-t(a+s^2/2)]dt = a/(a+s^2/2)
X ０ ０
及
∞ ∞
M [L(a;x)]=∫a˙exp(-at)exp(t˙s^2/2)dt =∫a˙exp[-t(a-s^2/2)]dt = a/(a-s^2/2)
X ０ ０
考慮Laplace dis.的c.f.為exp(iμs)/(1+b^2s^2)及m.g.f為exp(μs)/(1-b^2s^2)
http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution
因此 L(a;x)為某個Laplace dis.的pdf. that is
L(a;x) = √(a/2)˙exp[-|x|√(2a)]
當 x≠0 時
-d
-- L(a;x) = a˙exp[-|x|√(2a)]˙sgn(x)
dx
http://en.wikipedia.org/wiki/Sign_function
且當x=0時，L(a;x)對x的導數不存在
而題目所求即為
-d 1
＊ = -- - L(a;x) = exp[-|x|√(2a)]˙sgn(x)
dx a
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～by Jackary P.～
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