※ 引述《yueayase (scrya)》之銘言：
: t - distribution 可以用兩種方式定義:
: (1) Let Z be a standard normal random variable and Y be a chi-square random
: variable with v degrees of freedom. Also, Z and Y are independent.
: Define a random variable
: T = Z / √(Y/v), then the distribution of T is called the t- distribution.
: 2
: (2) The distribution density function Γ((v+1)/2) t -(v+1)/2
: f(t) = -------------- (1+---)
: √(πv) Γ(v/2) v
(忘了除2)
: -∞ < t < ∞ is called the t- distribution.
:
: 但是用(2)的話,
: ∞
: E(T) = ∫ tf(t) = 0 (因為 tf(t) 是奇函數 )
: -∞
: 2 2
: 但是 E(T ) 好像不好求(Hint是給: Let 1+t / v = 1/u)
: 但是這樣一來,積分上下界不都變為0,好奇怪...
後來想到了一個方法:
2
2 ∞ 2 Γ((v+1)/2) t -(v+1)/2
E(T ) = ∫ t -------------- (1+---) dt
-∞ √(πv) Γ(v/2) v
2
∞ Γ((v+1)/2) t -(v+1)/2
= ∫ t x t -------------- (1+---) dt
-∞ √(πv) Γ(v/2) v
令 u = t, dv = 後面哪一坨
2
-2 v Γ((v+1)/2) t -(v-1)/2
=> du = dt, v = ------ x --- x ---------------- x (1+---)
v - 1 2 √(πv) Γ(v/2) v
利用分部積分,
2
2 ∞ ∞ -2 v Γ((v+1)/2) t -(v-1)/2
E(T ) = tv | -∫ ------ x --- x ---------------- x (1+---) dt
-∞ -∞ v - 1 2 √(πv) Γ(v/2) v
2 2
∞ v ∞ Γ((v+1)/2) t -(v+1)/2 t
= tv | + ------- ∫ ---------------- (1+---) (1+---) dt
-∞ v - 1 -∞ √(πv) Γ(v/2) v v
2
∞ v ∞ Γ((v+1)/2) t -(v+1)/2
= tv | + ------- ∫ ---------------- (1+---) dt
-∞ v - 1 -∞ √(πv) Γ(v/2) v
2
1 ∞ 2 Γ((v+1)/2) t -(v+1)/2
+ ------- ∫ t ---------------- (1+---) dt
v - 1 -∞ √(πv) Γ(v/2) v
∞ v ∞ 1 2
= tv | + ------- ∫ f(t) dt + ------- E(T )
-∞ v - 1 -∞ v - 1
因為 lim tv = 0 (By L'HOSPITAL's rule)
t->±∞
2
所以 E(T ) = (v/v-1)/(v-2/v-1) = v/v-2
好像看不出跟他給的有什麼關連....
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.251.185.98