[線代] 關於linear map的一個證明

[bemyself (self)]

題目是在證一個corollary:

如果V及W是兩個finite-dimensional的vector space

而且已知dimV > dimW

那麼不會存在任何一個linear map, T, from V to W 是injective

他的方法是:

假設有一個linear map T from V to W, where dimV >dimW

因為其實已經知道說dimV = dim nullT + dim rangeT

所以-->dim nullT = dimV - dim rangeT
                 >=dimV - dimW      (rangeT是W的subspace,故dim rangeT<=dim W)
                 >0                 (由假設)

因此dim nullT > 0

然後它就說 "故nullT中must contain vectors other than 0 又0在nullT中 故not injective"

我的問題就是 大於0 可以是1吧

然後其實 0必定會在nullT之中(T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)(linear map) -->T(0)=0必成立)

如果dim nullT就是1 又0已經在nullT中

那我可不可以說 nullT中 就只有0 沒有"vectors other than 0" 然後0就是nullT的basis

這樣不僅dim nullT=1 0也span了整個nullT

這樣想有錯嗎? 但我實在找不到其他方法可以反駁我這個反例 然後就一直卡在這個證明上

有人可以解救我嗎

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◆ From: 140.112.239.241
推 yusd24      :{0} 的維度定義成 0, 不是 1
→ tandem      :你搞錯 dimension 的定義, 只有 0 的話 dimension=0
推 mk426375    :dim=1的basis是單位向量不是0
→ bemyself    :剛回頭去看了一下,可不可以這樣說:因為empty list()
→ bemyself    :被declare成與{0}同義,又因()的length是0,所以{0}的
→ bemyself    :長度也是0?
→ bemyself    :好像有點說錯......是()的span被定義成與{0}一樣.又
→ bemyself    :dimension的定義是linear independent spanning list
→ bemyself    :的長度,所以{0}的dimension才會被認做是0...這樣對嗎
→ bemyself    :還是說其實這很intuitive而trivial的.未需仔細深究?
→ bemyself    :還是大謝上三樓......一語點醒夢中人......
→ tandem      :這要看你的線代課本是怎麼寫的...反正 {0} 是零維