Re: [中學] 條件機率 (碰面相遇問題)

[ckchi (飄)]

打到一半居然被踢掉
好個系統過載...

※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言：
: http://www.badongo.com/pic/13068541  (題幹)
: http://www.badongo.com/pic/13068429 (題目)
: 想請問
: 考慮交叉路口前進的機率
: 跟考慮路線的機率有什麼不一樣阿?
: 老師說 交叉點是不知道路線
: 選各路徑機率皆相同 是指知道路線
: 這是什麼意思?

我先用一個例子回答這個問題

　　　　　┌─┬─電影院
小明家──┤　└─遊樂場
　　　　　└───海邊

考慮交叉路口前進的機率 => 小明每到一個叉路就丟硬幣決定往哪走
此時往海邊的機率是 1/2，電影院跟遊樂場則各 1/4

考慮路線的機率 => 小明先在家裡丟骰子決定要去哪裡
此時三個地點的機率都是 1/3 (即3條走法中選一條)


: 然後考慮路線 為什麼走到C是4/15 這十五所代表的意思是什麼?
: 雖然我知道15是4+6+4+1得到的

題目中，由於甲，乙速度相同，
又甲到乙共要走8次，
因此會在各走4次的地方相遇 (即圖中的C D E F)

bug 1: 題目沒有說甲、乙要走捷徑 (如果不用走捷徑...死吧)
讓我們忽略上面的 bug ，當作甲乙都走捷徑吧......


照你們老師的意思，

式子 (4/15)*(1/15) + (6/15)*(4/15) + (4*15)*(6*15) + (1/15)*(4*15) 中各項為：
　　　甲乙在C相遇　　 甲乙在D相遇　　 甲乙在E相遇　　 甲乙在F相遇
即：  甲到C*乙到C　　 甲到D*乙到D　　 甲到E*乙到E　　 甲到F*乙到F

由於 甲 必定會到 CDEF 之一，又到 CDEF 的走法分別有 4 6 4 1 種
因此 甲 共有 4+6+4+1=15 種走法，每種走法機率都相同
同理， 乙也有 15 種走法


但是！！
bug 2: 甲走到 CDEF 後，應該要繼續往 B點 前進才對，
       因此應該分別有 4*1 6*4 4*6 1*4 種走法才對。
       同理，乙走到 CDEF 後，應該也要繼續往 A點 前進。

個人認為答案有錯


: 但我完全不懂這的意義是什麼
: 這題真的好複雜 想的頭好痛


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.116.89.133
※ 編輯: ckchi           來自: 140.116.89.133       (06/01 11:21)
推 justin0602  :BUG2我不是很懂耶 可以再說一下嗎??? 謝謝您
→ ckchi       :因為題目是說 從A走到B
→ ckchi       :我修文 等等

因為題幹中說 "甲從A走到B" ，因此甲走到CDEF中的一點之後還要繼續走

A-C-B : A到C有4種走法，C到B有1種走法，因此共 4*1 種走法
A-D-B : A到D有6種走法，D到B有4種走法，因此共 6*4 種走法
A-E-B : A到E有4種走法，E到B有6種走法，因此共 4*6 種走法
A-F-B : A到F有1種走法，F到B有4種走法，因此共 1*4 種走法

同理：B-C-A =  4
　　　B-D-A = 24
　　　B-E-A = 24
　　　B-F-A =  4

※ 編輯: ckchi           來自: 140.116.89.133       (06/01 11:32)
推 justin0602  :那後面的機率要怎麼算? 後面其實隨便走都沒差了?
→ justin0602  :因為已經碰面 不是嗎?
→ ckchi       :但是路線數量不同
→ ckchi       :我想一下怎麼解釋比較恰當...
推 justin0602  :有一種題目是說 第五次取到第三顆白球的機率
→ justin0602  :那種題目也沒管第六次第七次以後的事情 不曉得您是否
→ justin0602  :知道我再說哪種題目 呵
→ ckchi       :嗯 但是這兩種有決定性的不同
→ ckchi       :取球的那個，當第5個球拿出來後，之後的拿法數相同
→ ckchi       :但是今天走到 C D E F 之後，後面的走法數不同
推 justin0602  :哪後面要怎麼考慮 我看了好幾本參考書都算到碰面而已
以 A-D-B 為例：

其實 A-D-B 就是從A出發、經過D、再到B結束

因此分成 A-D 和 D-B 兩段

A-D 你已經會算了：
　兩個右跟兩個上排列數
　即 4!/2!2! = 6 種

D-B 的算法其實也一樣：
　三個右跟一個上作排列，
　因此有 4!/3! = 4 種

所以 A-D-B 共有 6*4 = 24 種走法


換言之，從A到B共有 4*1 + 6*4 + 4*6 + 1*4 = 56 種走法，
且每種走法的機率相同。

其中經過C有4種、經過D有24種、經過E有24種、經過F有4種

→ ckchi       :我不知道參考書的題目怎麼寫...
或著請板上其他強者幫忙看看我的想法對不對好了...


不過如果真的大家都只考慮到相遇
為了分數只好...... (思)
※ 編輯: ckchi           來自: 140.116.89.133       (06/01 12:07)
推 justin0602  :我拍給您看
推 justin0602  :http://www.badongo.com/pic/13070878
→ justin0602  :上面是類似的聯考題
→ justin0602  :http://www.badongo.com/pic/13070884
→ justin0602  :http://www.badongo.com/pic/13070887  (這題)
→ ckchi       :喔
→ ckchi       :不同喔
→ ckchi       :你拍的題目是 "每次叉路選擇每條路機會相同"
→ ckchi       :而不是 "每條路線" 的機率相同

回到最一開始的例子

　　　　　　　┌─百貨公司
　　　　　┌─┼─電影院
小明家──┤　└─遊樂場
　　　　　└───海邊

考慮交叉路口前進的機率 =>
此時往海邊的機率是 1/2，電影院跟遊樂場則各 1/4

如果今天上面多一條路到百貨公司，
電影院、遊樂場跟百貨公司的機率各為 (1/2)*(1/3) = (1/6)
但是！！在第一條叉路時，去海邊還是去第二個叉路的機率一樣是1/2沒變


考慮路線的機率 =>
此時三個地點的機率都是 1/3 (即3條走法中選一條)
去海邊的機率為1/3；去第二個叉路的機率為2/3

如果今天上面多一條路到百貨公司，
此時四個地點的機率都變成 1/4
去海邊的機率為1/4；去第二個叉路的機率為3/4

因此，交叉路口前進的機率相同時，只需要考慮到碰面即可
但，每條路線的機率相同時，必需完整地將所有路線考慮進去
※ 編輯: ckchi           來自: 140.116.89.133       (06/01 12:39)
推 justin0602  :因此，交叉路口前進的機率相同時，只需要考慮到碰面
→ justin0602  :為什麼有這樣的結論
→ justin0602  :這樣一說 那為什麼用交叉路口考慮時 不用管CDEF以後
→ justin0602  :的事情
→ ckchi       :因為交叉路口前進的機率相等的情況下
→ ckchi       :之後的事件數量不會影響已發生的事件的機率
→ ckchi       :我們可以看到的是 不管有沒有百貨公司
→ ckchi       :走到海邊的機率都是 1/2
→ ckchi       :走到第二個叉路的機率也都是 1/2
→ ckchi       :你可以把例子中的 海邊 跟 第二個叉路 當成CDEF
→ ckchi       :之後的叉路當成是之後的走法
推 justin0602  :所以考慮各路線機會均等這題應該要連同後面一起考慮?
→ ckchi       :是
→ ckchi       :這就是我所謂bug 2的由來
推 justin0602  :所以老師解錯了!!! 痾 真糟
加一行字...

※ 編輯: ckchi           來自: 140.116.89.133       (06/01 12:54)
→ ckchi       :我是覺得解錯難免啦... 弄清楚問題出在哪邊就可以了