推 hsnuyi :推推~ lagrange有時真的很難用... 06/01 21:09
→ GHJK777 :推 你寫的比較清楚 我p幣就發給你囉 感恩 06/01 21:15
→ ejialan :貪財貪財 06/01 21:21
→ ejialan :lagrange只是給出極值發生的必要條件而已 如果題目 06/01 21:26
→ ejialan :更複雜 往往需要配合數值方法求解非線性代數方程 06/01 21:27
※ 引述《GHJK777 (GHJK777)》之銘言：
: 有人可以幫我看一下錯在哪嗎？ (贈200p給最先解答的人)
: 題目
: Find the absolute max and min value of f on the set D.
: f(x,y) = 2x^3 + y^4
: D{(x,y)| x^2 + y^2 <= 1} (令g(x,y) = x^2 + y^2)
: 算法
: (1)
: 在邊界上
: use lagrange multipliers,
: f_{x} = 6x^2 = λ(2x)
: f_{y} = 4y^3 = λ(2y)
: 解出 x = -1/2 or -2(不合)
: _ _
: when x = -1/2 y = + √3/2 or - √3/2
: 代回f(x,y) 可找到絕對最大最小值
: (2)
: 內部找出critical point (0,0)
: 但(0,0)不是絕對最大也不是絕對最小
: 以上
: 但是答案是 Max=2在(1,0) Min=-2在(-1,0)
: 和我寫的有些出入 不知道哪裡出了問題
你的問題在沒有找出所有的解
6x^2 = λ(2x) ...(1)
4y^3 = λ(2y) ...(2)
x^2 + y^2 = 1 ...(3)
(i) x = 0
(1)式自動成立
由(3)式得 y^2 = 1 => y = 1 or y = -1
由(2)式得 λ = 2y^2 => λ = 2
(ii) y = 0
(2)式自動成立
由(3)式得 x^2 = 1 => x = 1 or x = -1
由(1)式得 λ = 3x =>λ = 3 orλ = -3
(iii) x≠0 且 y≠0
由(1)式得 λ = 3x
由(2)式得 λ = 2y^2
=> y^2 = 3x/2代入(3)式
2x^2 + 3x -2 = 0
x = -2 or x = 1/2 代回(3)式
x = -2 時 y^2 = -3 => y = (√3) i or y = -(√3) i 不合
x = 1/2 時 y^2 = 3/4 => y = (√3)/2 or y = -(√3)/2
又 λ = 3x = -6 or 3/2
整理得 (λ, x ,y ) = (2, 0, 1), (2, 0, -1), (3, 1, 0), (-3, -1, 0),
(3/2, 1/2, (√3)/2), (3/2, 1/2, -(√3)/2) 共6組解
代入 f(x,y) = 2x^3 + y^4
= 1, 1, 2, -2, 13/16, 13/16
故最大值為 2 發生在 (x,y) = ( 1, 0)
最小值為-2 發生在 (x,y) = (-1, 0)
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