Re: [微積] 一題分部積分

[StevnCurry (Sap)]

※ 引述《dino6427 (Benjamin)》之銘言：
: 看了版上的數學格式，我決定重打問題，讓大家都看得懂。
:  ∞
: ∫ (-Z) de^(-Z^2 /2) = 1  ，我算的結果等於0。不知道為什麼，
: -∞
: 我的算法如下：
: 先分部積分
: dX     ∫ X
: -Z      e^-(Z^2/2)
:     \
: -1 --- -Z^(-1) * e^-(Z^2/2)
          ====================

請問一下這部分的不定積分是怎麼做的

你的分部積分再繼續做下去去變成

          ∞
  0      ∫e^-(z^2/2) dz
         -∞

根據gamma function

 ∞
∫e^-(z^2/2) dz  = 1/2*(根號(2*pi))
 0

故 偶函數

∞
∫e^-(z^2/2) dz  = 根號(2*pi)  .....答案還是不對
-∞

請問我想法有錯嗎 這個積分式沒有奇點吧??



:                                       ∞
: 斜線部分：[-Z * -Z^(-1) * e^-(Z^2/2) ]    = 0
:                                       -∞
: 水平線部分：-∫(-1) * [-Z^(-1) * e^-(Z^2/2)] dZ
:                               ∞
: 再把斜線部分與水平部分相加得 -∫[Z^(-1) * e^-(Z^2/2)] dZ
:                               -∞
: (負負得正，先消負號，以便積分)
:           ∞
: 接下來求 -∫[Z^(-1) * e^-(Z^2/2)] dZ
:           -∞
:          ∞
:        = ∫ [Z^(-2) * (-Z) *e^-(Z^2/2)] dZ
:          -∞
:          ∞
:        = ∫ [Z^(-2) *d(e^-(Z^2/2))
:          -∞
: 再分部積分一次
: dX                    ∫ X
: e^-(Z^2/2)             Z^-2
:                   \
: -Z^ * e^-(Z^2/2) ----  -Z^(-1)
:                                 ∞
: 斜線部分：[e^-(Z^2/2) * -Z^(-1)]     = 0
:                ∞               -∞
: 水平線部分： -∫e^-(Z^2/2) dZ = 0
:               -∞
:      ∞
: 所以∫ (-Z) de^(-Z^2 /2)= 0 ，但答案是等於1
:      -∞
: 請問我錯在哪裡?
: 感謝答覆!

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◆ From: 114.25.38.27
推 dino6427    :我對e^-(Z^2/2)做不定積分(不代入上下界值)得
→ dino6427    :得-Z^(-1) * e^-(Z^2/2)，
→ dino6427    :因為對e^-(Z^2/2)微分會得-Z * e^-(Z^2/2)
→ dino6427    :所以e^-(Z^2/2)積分得-Z^(-1) * e^-(Z^2/2)
推 dino6427    :gamma的標準式:∫(0~∞)X^t-1*e^(-X)dX
→ dino6427    :t=1，gamma:∫(0~∞)e^(-X)dX
推 dino6427    :但是上是好像湊不出gamma耶，我也不知道1/2*根號(Pi)
→ dino6427    :是如何來的，可已告知我在哪個單元呢，感謝。
→ dino6427    :因為補習班的講義只有提到gamma的簡單公式而已。
推 Vulpix      :你的分部積分做錯了啦！
→ Vulpix      :我指的是一樓