推 Justin258 :感謝y大幫忙解答！ 06/05 23:32
※ 引述《Justin258 (Justin)》之銘言：
: 題目出自 Saeed Ghahramani的機率課本 (閃電本) ch9.2 Exercise 7
: Let X1 and X2 be two independent exponential random variables each with
: parameter λ. Show that X(1) and X(2) - X(1) are independent.
: 老師上課跳過了ch9.1的 Joint Distributions of n>2 Random Variables
: 也沒有上 ch8.4的 Transformations of Two Random Variables
: 解答的寫法用到了 Jacobian of the transformation ..
: 我應該自己將相關的章節閱讀完畢會是比較理想的作法嗎？
: 還是說有其他更基本的觀念或解法可以直接去證明
: X(1) and X(2) - X(1) are independent ?
: 謝謝幫忙！
Xi 的 p.d.f.: f(x), 0<x<∞.
X(1) 與 X(2) 的聯合 p.d.f.: 2f(u)f(v), 0<u<v<∞.
X(1) 的 marginal p.d.f.: 2f(u)(1-F(u)), 0<u<∞.
F 為 Xi 之 c.d.f..
Given X(1)=u, X(2) 的條件 p.d.f. f(v)/(1-F(u)), u<v<∞
P[X(2)-X(1)≦z|X(1)=u]
= P[X(2)≦z+u|X(1)=u]
u+z
= ∫ f(v)/(1-F(u)) dv
u
= (F(u+z)-F(u))/(1-F(u))
= (e^{-λu}-e^{-λ(u+z)})/e^{-λu}
= 1-e^{-λz}, 0<z<∞
因 P[X(2)-X(1)≦z|X(1)=u] 與 u 無關, u in (0,∞),
all z in (0,∞), 故 X(2)-X(1) 與 X(1) 獨立.
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