[分析] 數值偏微分方程

[jacky7987 (憶)]

就是我在學數值偏微分方程的時候
老師有要叫我們計算每個演算法的穩定條件

比如說Heat Equation中的Explicit Forward Method
    2
   d u(x,t)     du(x,t)
A----------- = --------
       2
     dx           dt

然後用forward difference帶進去

可以得到

   k     k  k       k+1  k
  u   -2u +u       u   -u
   i+1   i  i-1     i    i        k
A-------------- = ---------      u  =u(x_i,t_k)
       Dx^2          Dt           i

          k    k  ij\pi/P
然後令解 u  = a *e                 j=sqrt(-1) P≠0: a integer
          i

帶入可以解到一些條件

               Dt       1
這邊是  r=A*-------- ≦---
             (Dx)^2     2


然後我想問的是 Two dimension 的wave equation

    2                2              2
   d u(x,y,t)       d u(x,y,t)     d u(x,y,t)
A(------------- + -------------)= ------------
      dx^2             dy^2           dt^2

然後用difference帶入之後


    k       k    k        k       k    k           k+1   k     k-1
   u     -2u   +u        u     -2u   +u           u   -2u   + u
    i+1,j   i,j  i-1,j    i,j+1   i,j  i,j-1       i,j   i,j   i,j
A(------------------- + --------------------) =  ------------------
       Dx^2                   Dy^2                     Dt^2

然後
他省略的中間的過程得到一個限制條件

        4(Dt)^2
r=A*--------------- ≦1
     (Dx)^2+(Dy)^2


想請問一下這邊的解要用甚麼帶入才可以得到那個限制式

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