→ Vulpix :1. 請繼續硬算下去，應該還有case沒討論到 06/08 22:36
推 yusd24 :semi-direct product 06/08 22:50
因為交換可用大定理分類, 故此不考慮交換群的情形
1.|G|=18
|G|=18=2‧3^2
n_2=1 mod 2, n_3=1 mod 3 and n_2、n_3|18
n_2=1、3、9, n_3=1
存在唯一 Sylow 3-subgroup H normal in G, 故|H|=9=3^2, 故H可交換
H iso Z_9 or H iso Z_3 x Z_3.
Suppose H is cyclic with generator a.
let b be the element of order 2
ba(b^-1)=a^j
(b^2)a(b^-2)=b(a^j)b^-1=(bab^-1)^j=a^j^2
j^2=1 mod 9, so j=1 or -1
if j=1, ba=ab, so G is abelian.
if j=-1, bab^-1=a^-1, b^2=a^9=e.
by Theorem6.13(Hungerford第一章), G iso D_9.
目前只做到這裡,
其他部分可否請板友幫忙補充
2.|G|=130=2x5x13, G iso to Z_130、Z_5xD_13、D_65、Z_13xD_5.
這是老師給的練習
他有整個架構
(a)There is normal Sylow 13-subgroup P=<a>
similar arguement to 1.
(b)Let b and c be elements of order 5 and 2 respectively. Then a, b, c
generate G.
因為 <a,b,c>可寫成(a^i)(b^j)(c^k)形式, 而這型式有130個可能, 故生成G
(不知道這樣說有沒有錯)
(c)The elements a and b generate a cyclic normal subgroup N of order 15
as bab^-1=a.
(d)Because cbc^-1 is of order 5 in N, it lies in <b>.
(e)cac^-1=a, cac^-1=a^-1, cbc^-1=b, cbc^-1=b^-1.
(c)(d)(e)就不知道怎麼去說明了.......
也請板友能幫忙一下
就這兩題 感激不盡!!!!
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