※ 引述《SmallLuLu (小嚕嚕)》之銘言：
: x0,x1,...,xn為任意正實數，n >= 2
: 證明
: x1 x2 xn 1
: ------------- + ----------------- + ... +------------------------- < -----
: 2(x0^2+x1^2) 3(x0^2+x1^2+x2^2) (n+1)(x0^2+x1^2+..+xn^2) x0
: 毫無頭緒= =
若 x 皆為正實數, 則以下成立:
i
2 2 2 2
( 1 + 1 + ... + 1 )( x + x + ... + x ) ≧ ( x + x + ... + x )
0 1 n 0 1 n
↑
柯西不等式
claim: 對任意正整數n(n≧1)，恆有
x x x 1
1 2 n
------------ + ----------------- + ... + ----------------------- ＜ ---
2 2 2
( x + x ) ( x + x + x ) ( x + x + ... + x ) x
0 1 0 1 2 0 1 n 0
其中 x 和 x 皆為任意正數。
0 i
我們對n做數學歸納法
當n=1時，此命題成立。則當n=k時，
x x x
1 2 k
------------ + ----------------- + ... + -----------------------
2 2 2
( x + x ) ( x + x + x ) ( x + x + ... + x )
0 1 0 1 2 0 1 k
x 1 1
1
＜ ------------ + --------- ＜ -----
2
↑ ( x + x ) x + x x
│ 0 1 0 1 0
│
歸納法假設
結束~~
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