[幾何] 測量師公式 證明 (Surveyor's Formula)

[xxxx9659 (嘎嘎嘎嘎嘎)]

測量師公式是用來算多邊型面積的好用公式

只要將 n 邊形的點依照逆時鐘排好

n 邊形面積 = ( A - B )/2

A = X(1)*Y(2) + X(2)*Y(3) + X(3)*Y(4) + ... + X(n-1)*Y(n) + X(n)*Y(1)

B = X(2)*Y(1) + X(3)*Y(2) + X(4)*Y(3) + ... + X(n)*Y(n-1) + X(1)*Y(n)

X(k) 代表第 k 個點的 X 座標



請問大大 這個公式要如何證明？





P.S. 要證明好像要用到微積分 可能我微積分不太熟所以都證不出來

有沒有方法不用微積分 用幾何就可以證明？

之前想到的方法是先證明三角形面積 再推廣到多邊形 但是證明三角形就卡關了



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 163.25.118.138
→ WINDHEAD    :因為公式寫錯了XDDD
一早起來 忽然想到我公式寫錯了... 從床上跳起來改文章
※ 編輯: xxxx9659        來自: 163.25.118.138       (06/12 09:04)
推 stevelu     :把每個點對x軸做垂直線 就會切出許多梯型
→ stevelu     :也可以用三角形 把任相鄰兩點和原點建構成三角形
→ stevelu     :這樣應該比較單純
感謝樓上提供的方法！！

把 n 邊形用 n 個梯型面積去表示

n 邊形面積 = (Y(1)+Y(2)) * (X(1)-X(2)) / 2
           + (Y(2)+Y(3)) * (X(2)-X(3)) / 2

                      .
                      .
                      .

           + (Y(n)+Y(1)) * (X(n)-X(1)) / 2


再把把算式拆開來化簡一下 果然跟測量師公式一樣！！




之前每次用這個公式都用的很心虛

這次終於證明出來了！！！
※ 編輯: xxxx9659        來自: 163.25.118.138       (06/12 19:06)
推 Kenny444    :原來這個公式有名字,以前國中不知道都用爽爽