→ sleep123 :弧長參數問題，你另外列的公式已經考慮弧長校正 06/15 11:05
→ sleep123 :意思是，設s為弧長參數，即滿足||r'(s)||=1 for all 06/15 11:08
→ sleep123 :s in I 06/15 11:09
推 G41271 :阿你都舉出反例了 還要問甚麼 06/15 12:45
以前第一次念到旋轉體體積的時候
發現繞x軸的旋轉體體積的公式為
V=∫(pi)*f(x)^2 dx
然後很自以為是的用類比寫出弧長公式
S=∫2*(pi)*f(x) dx
但結果應該是
S=∫2*(pi)*f(x) ds=∫2*(pi)*f(x)*[1+f'(x)^2]^0.5 dx 才對
這我現在了解原因了
只是目前我又遇到類似的問題了
極座標圖形的面積公式
A=0.5∫r(θ)^2 dθ
我自己亂類比出弧長S=∫r(θ) dθ
這個結果是錯的 應該要利用全微分做出 (x')^2+(y')^2=r^2+(dr/dθ)^2
再代到參數那個公式裡面
不過我還是覺得S=∫r(θ) dθ很直覺阿~ = =""
面積公式是利用小塊小塊的面積元素 dA=0.5*r^2 dθ
不能利用小段小段的弧長元素 ds= rdθ 嗎
哪裡出問題了呢
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實際例子: r=1+cosθ ,0<=θ<=2(pi)
2(pi)
S=∫[r^2+(r')^2]^0.5 dθ
0
=8
如果用∫r(θ) dθ算
2(pi)
S=∫r(θ) dθ = 2
0
不一樣
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