推 YmemY :哇! 06/15 12:54
推 kane950544 :太精闢了 很感謝 06/15 19:21
推 ntust661 :只能推了! 06/15 20:47
※ 引述《kane950544 (老伯公)》之銘言：
: 極座標圖形的面積公式
: A=0.5∫r(θ)^2 dθ
: 我自己亂類比出弧長S=∫r(θ) dθ
: 這個結果是錯的 應該要利用全微分做出 (x')^2+(y')^2=r^2+(dr/dθ)^2
: 再代到參數那個公式裡面
: 不過我還是覺得S=∫r(θ) dθ很直覺阿~ = =""
: 面積公式是利用小塊小塊的面積元素 dA=0.5*r^2 dθ
: 不能利用小段小段的弧長元素 ds= rdθ 嗎
: 哪裡出問題了呢
: --------------------------------------------------
事情是這樣的
你在做逼近的時候 不管是面積也好 弧長也好
都是先在定義域取離散點 然後把這些點的函數值用理想曲線(一般是直線)分段連起來
算這個理想狀態的值 然後再把離散點越取越密得到極限
用在面積上就是 梯形法(理想曲線=直線) 或辛普森法(理想曲線=拋物線)
那你可能會說 咦奇怪 為什麼一開始學積分的時候要用矩形
喔 這是因為雖然矩形的誤差比較大 但是運氣很好他剛剛好也會收斂到同樣的極限
再來一個原因就是計算方便這樣
但如果把矩形搬去算弧長就會吃鱉了 因為 不管你怎麼細分
他 taxicab distance 的總和永遠是定值 根本沒有逼近的效果
於是我們終於知道 把端點連起來才是安全感的保證
所以才有那個 ds^2 = dx^2 + dy^2
他就是分段直線的長度總和
極座標也是一樣滴
算面積的時候 r(θ)^2 dθ 雖然不夠精確 但是剛剛好夠用
算弧長的時候 用 r(θ) dθ 就出代誌啦
因為你沒辦法把分段理想曲線頭尾連在一起
導致你想要逼近的曲線 總是很討厭地永遠跟你的理想曲線差一個傾斜角
註定了你無法避免那個傾斜角所造成的比例縮小
要解決這個問題的方法之一 就是把理想曲線取成連接兩離散點的直線
於是你有一個三角形 邊長分別為 r, r+dr, ds
其中 ds 是 dθ 對應的邊長
BY 餘弦定理
ds^2 = r^2 + (r+dr)^2 - 2r(r+dr)cos(dθ)
注意到 cos(dθ)=1-(dθ)^2/2 + higher terms
代入整理得
ds^2 = dr^2 + r^2 dθ^2 + rdrdθ^2 + higher terms
= dr^2 + r^2 dθ^2 + higher terms
這裡 higher terms 就是作積分的時候毫無貢獻的那些傢伙
不同的逼近法之所以會跑出同樣的極限
就是因為 他們除了 higher terms 以外的部份都相等
所以實際上你作的是 √[dr^2 + r^2 dθ^2] 的積分
雖然經過了開根號的程序 不過你可以驗證一下他不會影響 higher terms 以外的部份
當然你用 x,y 座標來做也會得到同樣結果
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 24.12.185.67