[複變] 主值積分

[handsboy (夠夠拋兒瑞久)]

題目是

  0           dx
∫   {─────────}
 -∞    2          2
      (x - 2x +1)(x + 1)

Find the principal value.


我的想法是因為它是偶函數

所以 -∞~0的積分值是 -∞~∞的一半

然後分母的poles 為 1 , i , -i

然後帶入這個公式

       ∞
pr.v. ∫ f(x)dx = 2πi ΣRes f(z) + πi ΣRex f(z)
       -∞

最後一項的極點是代入在real axis的極點  ( z=1)

第一項的極點是代入在上半平面的極點  (z = i)

然後算出來積分值是零  = =


算式如下:
                       1
z=1 , Res f(z) = [(────)']
      z=1           (x^2+1)   z=1

                     -2x
               = [─────]
                  (x^2+1)^2  z=1

               = -0.5

                        1
z=i,  Res f(z) = [───────]
      z=i         (x-1)^2 *(x+i) z=i

                     1
               = ───────
                 (i-1)^2 * (2i)

                     1
               = ────  = 0.25
                 (-2i)(2i)



在代入公式內


       ∞
pr.v. ∫ f(x)dx = 2πi ΣRes f(z) + πi ΣRex f(z)
       -∞

                = 2πi*ΣRes f(z) + πi*ΣRex f(z)
                       z=i              z=1

                = 2πi * 0.25 + πi * (-0.5)

                = 0


因為這題期末考好像會考

可是又沒有人跟我對答案QQ

有高手可以幫我看看有沒有寫錯的地方嗎

感恩


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.116.118.176
→ Vulpix      :首先一開始就不是偶函數了……
→ Vulpix      :再說，這個積分也沒有sing. pt.，分項積分才是上策？
→ handsboy    :singular point 不是會使分母為零的點嗎
→ a016258     :變數變換感覺不難做~
推 endlesschaos:第一部就錯了  所以後面當然全錯  請愛用小精靈積分
→ handsboy    :因為期末考範圍是複變  不知道有沒有複變的解法 = =
→ doom8199    :常見的做法是考慮  f(z) = ln(z)/[(z^2+1)(z-1)^2]
→ doom8199    :然後 contour 考慮一整個圓 ...若你想用複變算的話XD
推 G41271      :你可以先分開再用複遍