推 hjmeric :謝謝你的回覆 請問你覺得這題的微分和積分可以交換 06/19 14:43
※ 引述《hjmeric (Jimmy)》之銘言：
: 這題是MARSDEN p.520的題目
: a.
: 1
: Let t>-1. Show that ∫ ((x^t)ln(x))dx exists.
: 0
Let t=-1+2α, α>0
However, x^{-α} > ln x when x in (0,1)
then, x^{-1+α} > x^t ln x when x in (0,1)
however, x^{-1+α} is integrable,
hence x^t ln x is also integrable.
: b.
: Evaluate the integral in a. by considering
: d 1
: ---(∫x^tdx)
: dt 0
: 我想問的問題有兩個，第一個是a小題的證明，
: 第二個是 這題的微分和積分可以交換嗎? 我是覺得x^t在0沒有定義，所以也就沒有連續
: 應該是不能交換才是，但這章節就是在討論什麼時候可以交換，
: 題目看起來也是希望我們這樣做，麻煩大家了。謝謝
If f(x) is not defined at x=a
then ∫[a,b] f(x) dx
is defined by
lim_{ε→0+}∫[a+ε,b] f(x) dx
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