[機統] 一期望值問題

[squall0963 (不要報警)]

我大概翻譯一下題目

有一個訊號 defind by  X(t)=Acos(wt+θ)

其中A為高斯(高斯分佈)隨機變數 E[A]=0 Var[A]=1 (with 0 mean and unit variance)

而θ為平均分佈在(0,2π)之隨機變數，w為非負整數，假設A和θ各自獨立，

求 E[X(t)]和 Var[X(t)]


我的想法

(1)   E[X(t)]=E[Acos(wt+θ)]

             =E[A] * E[cos(wt+θ)  ....因A,θ各自獨立

             =0


(2)  Var[X(t)]=E[X(t)^2]-E[X(t)]^2


其中 E[X(t)^2]=E[A^2 * cos^2(wt+θ)]

              =E[A^2] * E[cos^2(wt+θ)] 因A,θ獨立

其中 E[A^2]=Var[A] + E[A]^2

           =0+1^2

           =1


 → E[X(t)^2] = 1* E[1/2 + 1/2cos(2wt+2θ)]

              =E[1/2] + 1/2*E[cos(2wt+2θ)]

              =1/2 + 1/2*E[cos(2wt+2θ)]  算到這邊卡關


這個1/2*E[cos(2wt+2θ)怎麼算呢??


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◆ From: 118.165.77.120
推 Malkuth     :直接對θ積分再除2π，那一項的結果應該是0？
→ squall0963  :結果是0 沒錯 為什麼要這樣算呢?
推 Malkuth     :就只是定義啊，θ的pdf是1/2π

謝謝 我懂了 我把事情想的太複雜了 我這樣寫 能幫我看一下是否正確嗎??


                                2π
根據定義來看的話θpdf= 常數K  ∫  K dθ= 1
                                0

                fθ(θ)= 1/2π ;  0 <θ<2π


                                 2π
根據定義  E[cos(2wt+2θ)]= 1/2π∫ cos(2wt+2θ) dθ
                                 0

                                   2π
積分得    1/2π*1/2*sin(2wt+2θ)|
                                   0


1/4π*[sin(2wt+4π)-sin(2wt)] = 1/4π[sin(2wt)-sin(2wt)] =0


所以 E[X(t)^2]= 1/2 + 0 = 1/2

     Var[X(t)]= 1/2 - 0 = 1/2

※ 編輯: squall0963      來自: 118.165.77.120       (06/21 00:14)