[中學] 100年楊梅高中教師甄試

[demon (lost my music)]

我來貢獻一下

一、多重選擇題(10分，全對才給分)
http://affairs.ymhs.tyc.edu.tw/yam/teacher/筆試測驗題試題及解答.pdf
短網址：http://ppt.cc/KhyS


二、填充(每格7分，共84分)
         9^x                     1          2              2010
1.f(x)=--------，x為實數，求f(------) + (------) + ... + (------) =?
        9^x+3                  2011       2011             2011

2.等比數列{an}，an>0，a50*a51=16

  則㏒(2為底)a1+㏒(2為底)a2+...+㏒(2為底)a100 =?

3.七種冰果，有五個人前往購買，每個人限吃一種，老闆有___種不同的做法。

4.P(1,-2)為y=x^2-4x-2的弦AB中點，求線段AB的長度=?

5.y=x^2與x=y^2在第一象限所圍面積

6.空間中O為原點，向量OA=(0,1,-2)，向量OB=(2,-1,-2)，

  已知向量OP=rOA+sOB，r,s為實數，所有P點所形成軌跡方程式為?

7.有一非常大的正整數n，除了不可被1~250中某兩個連數整數k,k+1整除，

  皆可被其他整數整除，k=?

8.投擲公正骰子四次，分別得a,b,c,d，求事件(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)=0發生的機率

9.連接正五邊形ABCDE的五條對角線，圍成正五邊形FGHIJ，再繼續作五條對角線

  圍出更小的正五邊形，如灰色區域(註：作兩次對角線所得到的小正五邊形，原題有圖)

  若灰色區域邊長1，則ABCDE面積是灰色區域面積的Φ^k倍，則k=?
           1+√5
  (其中Φ=-------)
             2

10.a,b為實數，已知ax^17+bx^16+1能被x^2-x-1整除，則a=?

11.設A,B,C,D四點在同一直線上，且線段AB:BC:CD = 3:5:4，以線段BC為直徑作圓

   取圓上任一點P(但P≠B，P≠C)，令∠APB=α，∠CPD=β

   求tanαtanβ=?

12.過原點(0,0)有三條相異直線與f(x)=x^3+kx^2+1相切，求實數K的範圍？


三、計算(6分)

          x^2       y^2
1.求橢圓------- + ------- = 1 繞x軸旋轉所得的旋轉體體積。
          16         9










參考答案：

一、多選題
1.BCD(官方答案)

二、填充題
1.  1005
2.  200
3.  462
4.  2√15
5.  1/3
6.  2x+2y+z=0
7.  127
8.  37/72
9.  8
10. 987
11. 1/6
12. k>3

三、計算題
1.  48π



※ 引述《alless (123)》之銘言：
: 有一個很大的數可以被1~250整除，除了某兩個連續的正整數k,k+1，
: 請問k=?
: 題目大致上是這個意思
: 請問一下
: 如何下手??
我是這樣思考

n是很大的正整數，k如果小於125，則n不能整除k，但可以整除k的2倍，不合

=>所以k>125(2012.03.30補充)

k,k+1兩數中必有一偶數，讓那個偶數為2t(t我先找質數)

n不能整除2t，卻可以整除2及t，不合

例如k為146，n不能整除146，卻可以整除2及73一定不合(2012.03.30補充)

必須讓n不能整除k，卻可以整除其他數，那k一定要有很多2

2^7=128即可，k,k+1有兩種可能，127,128或128,129

因為129=3*43，不合

k=127

--
  この闇の中で  どんなに離れていても
  心は何より強い  絆で呼び合って
  寂しい時には  笑っていても分かるよ
  冷たい指を涙で  暖めてあげたい
  側にいる…

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 112.105.243.122
推 alless      :謝謝~^^
→ bugmens     :感謝分享
→ demon       :我沒math pro帳號，需要轉載請自便^^
→ bugmens     :那我把題目用WORD重新打字,大概要花2個小時請稍候
真不好意思，我不會上傳，只好用BBS打出來
感謝bugmens大的熱心
推 superlori   :第8題好像是求(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)=0之機率
我漏打了=0，謝謝更正
→ superlori   :第11題我記得是3:4:5?還是我考試當下就看錯了QQ
我是專程去抄考題的，都抄在准考證背後了，應該不會有錯
剛剛查榜筆試只有14分，我只寫127跟987這兩題，計算不寫過程只有答案他沒給分
※ 編輯: demon           來自: 112.105.243.122      (06/24 17:52)
推 snew1209    :感謝分享  但整除是不是要加個被?
※ 編輯: demon           來自: 112.105.243.122      (06/24 17:55)
推 superlori   :感謝分享~~真的是我自己太眼殘了~~~~
推 saved       :感謝分享 請問第10.應該怎麼算比較快?
其實我看到題目直接背答案987最快
97年中和高中教甄，那題是-987
推 superlori   :可以觀察一下~~~x^2=x+1，代入發現是費式數列~~
除了費氏，我分享一個比較特別的作法

令x^2-x-1=0兩根α、β

α+β=1
αβ=-1

α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=3
α^4+β^4=7
α^8+β^8=47

α、β代入原式，由因式定理可知原式為0
aα^17+bα^16+1=0  乘上β^16
aβ^17+bβ^16+1=0  乘上α^16

aα^17β^16+bα^16β^16+β^16=0-----(1)
aα^16β^17+bα^16β^16+α^16=0-----(2)

(1)-(2)得aα^16β^16(α-β)=α^16-β^16    (α^16β^16=1)

a=(α^8+β^8)(α^4+β^4)(α^2+β^2)(α+β)

 =47*7*3*1=987

推 dennisal2000:感謝demon大~~還是想知道幾分可以進入複試ˊˋ
剛剛聽說有人77分沒進
※ 編輯: demon           來自: 112.105.243.122      (06/24 19:04)
→ tzhau       :這些題目都不難 大概要80甚至更高吧...
→ bugmens     :http://math.pro/db/thread-1162-1-1.html
→ bugmens     :完整版題目可到這裡下載
→ demon       :太厲害了，連第三題的文字都補上了@@"
→ demon       :第9題各點的順序也完全正確，但第7題應該要說正整數
推 Arshain     :為啥教高中要會橢圓體積呀 ~_~
→ bugmens     :題目是我一字不漏抄下來的,原敘述沒有正整數
→ bugmens     :但考生都知道那是正整數
推 Arshain     :  不過好像不用積分也可以算吼 ~_~
→ bugmens     :初試93複試我會缺考,請剩下的五位考生加油
→ RoamingGhost:第七題意外的跟Catalan conjecture有點關係
→ RoamingGhost:簡單來說必須要取到兩個連續整數使得這兩個數要碼
→ RoamingGhost:是質數或是質數的n次方. 一個選擇就是Mersenne prime
→ RoamingGhost:和2 的次方,然後連續取到兩個質數除了2 3 辦不到
→ RoamingGhost:那有沒有辦法取到連續兩個數都是質數次方?
→ RoamingGhost:或者更一般的能不能取到連續兩個數是次方數
→ RoamingGhost:(不一定要是質數的次方) 一個例子是2^3=8跟3^2=9
→ RoamingGhost:Catalan conjecture 說這是唯一的例子
→ RoamingGhost:這在2002 年已經"算是"被解決了 有人證明大過一個
→ RoamingGhost:bound 之後是沒解的 (雖然這個bound 很大)
推 rehearttw   :Arshain 兄，這次考題是「橢圓旋轉體」，是高中積分
推 ppsj        :請問填充第一題怎麼寫? 我已經在三個地方看到這題了.
→ demon       :頭尾兩項通分
推 rokam       :你把f(1/2011)+f(2010/2011)算看看就知道囉
推 rehearttw   :bugmens 兄是已經考上別的學校了嗎？
推 snew1209    :想請問多選第一個選項  那個數是否為質數
→ snew1209    :想要關鍵字可以讓我google就好  一個選項10分....
推 thisday     :那個選項好像是源自 2^2^n+1可作圖  高斯證明的
推 rokam       :2^2^n+1是否為質數(費馬猜想) 但n=5是錯的
→ rokam       :當n=5時 2^2^5+1=641x6700417 不是質數 所以第一個
→ rokam       :選項是錯的  高中數學課本有提到
推 JMLiang     :93分好威阿0.0
※ 編輯: demon           來自: 203.72.235.11        (03/30 13:10)