Re: [中學] 一題競賽

[ckchi (飄)]

※ 引述《breaken (我的心藍藍的)》之銘言：
: 對任意實數a,b,c，
: 當a>b時，將(a,b,c)調整為(a-b,b,c-b)；
: 當a<b時，將(a,b,c)調整為(a,b-a,(bc-a^2)/b-a)；
: 當a=b時，維持不變；我們稱這樣的過程為一次調整。
: 若(a,b,c)經過幾次調整後可得到(1,1,k)，則k=______.


假設 x,y,z 經過一次調整後變成 x',y',z'

case 1: x>y
   x'=x-y , y'=y , z'=z-y
=> x=x'+y' , y=y' , z=y'+z'

case 2: x<y
   x'=x , y'=y-x , z'=[(yz-x^2)/y]-x
=> x=x' , y=x'+y' , z= {[(x')^2]/(x'+y')}+x'+z'

由於不知道上一回合是a>b還是a<b過來的，
所以回推時兩種都可以 (除非推到矛盾)
至少a=b... 基本上不會發生

我們看兩個最極端的例子：一路a>b到(1,1,k) 跟 一路a<b到(1,1,k)


case A: 一路a>b到(1,1,k)   (x=x'+y' , y=y' , z=y'+z')

 　 　a'   b'   c'
t=0   1    1    k
t=1   2    1   k+1
t=2   3    1   k+2
 .    .    .    .
 .    .    .    .
 .    .    .    .
t=n  n+1   1   k+n

結果是 a=n+1, b=1 , c=k+n  => k=c-a+1




case B: 一路a<b到(1,1,k)   (x=x' , y=x'+y' , z= {[(x')^2]/(x'+y')}+x'+z')

由於一路都是a<b，條件可簡化為：x'=1 => z = 1/(1+y') + 1 + z'

 　 　a'   b'     c'
t=0   1    1      k
t=1   1    2   k+1+1/2
t=2   1    3   k+2+(1/2+1/3)
 .    .    .    .
 .    .    .    .
 .    .    .    .
t=n   1   n+1  k+n+[1/2+1/3+...+1/(n+1)]

結果是 a=1 , b=n+1 , c=k+n+[1/2+1/3+...+1/(n+1)]
=> k=c-b+1-[1/2+1/3+...+1/(n+1)]




可以看見，
光是一路a>b到(1,1,k) 跟 一路a<b到(1,1,k)兩種case，
就有不同的結果；
更不用提在過程中a>b和a<b交錯出現的情況了。


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.116.89.133
→ breaken     :如果是(3,5,c)呢?    基本上a,b互質一定可化簡
→ ckchi       :問題在於 你沒辦法找出一般解
→ ckchi       :(1,n,c) 跟 (n,1,c) 其中n是正整數時
→ ckchi       :都可以化成 (1,1,k)
→ ckchi       :但他們兩種情況的k 卻沒辦法寫成相同的式子表示
→ ckchi       :更一般的 (a,b,c) 要寫成通式就更難了
→ ckchi       :也許是有方法可以做 只是這個方法我沒想到
→ ckchi       :可能要麻煩其他人幫忙看看了 抱歉幫不上忙
推 breaken     :謝謝ckchi大