※ 引述《sbnj231t (先騙過自己)》之銘言：
: 函數二次微分>0開口向上
: <0開口向下
: 高中生都知道的常識
: 然而暑假想自己研究為什麼卻發現課本沒寫= =
: 小弟現在用的課本是james stewart 寫的
: 有誰可以給小弟一個完整的證明嗎
: 實在是感激不盡
令p+q=1,p>0,q>0
開口向上的定義: f(px+qy) < pf(x)+qf(y)
(函數值都在任曲兩點得到的割線的下方)
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泰勒公式的二階餘項
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(c)/2!](x-a)^2
>f(a)+f'(a)(x-a)
(函數值都在切線的上方)
(參考而已 等等不會用到)
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f(px+qy)-pf(x)-qf(y)=(p+q)f(px+qy)-pf(x)-qf(y)
=p[f(px+qy)-f(x)]+q[f(px+qy)-f(y)]
=p[(px+qy-x)f'(w1)]+q[(y-px-qy)f'(w2)]
=p{[x(p-1)+qy]f'(w1)}+q{[y(1-q)-px]f'(w2)}
=p[q(y-x)f'(w1)]-q[p(y-x)f'(w2)}
=[pq(y-x)][f'(w1)-f'(w2)]
=pq(y-x)*f''(η)(w1-w2) < 0
=>f(px+qy)<pf(x)+qf(y)
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