→ a016258 :Push 06/30 15:29
推 slygun :讚 06/30 21:10
推 apruth :推 06/30 23:14
※ 引述《Tenka (Tenka)》之銘言：
: 4 x
: ∞ x * e
: ∫ ─────── dx = ?
: 0 x 2
: ( e - 1 )
x x
4 e dx d ( e - 1 ) - 1
Let u = x ，dv = ─────── = ─────── = d ( ──── )
x 2 x 2 x
( e - 1 ) ( e - 1 ) e - 1
- 1 3
v = ──── , du = 4x dx
x
e - 1
3
∞ ∞ ∞ - 4 x
原式 = ∫ u dv = uv | - ∫ ──── dx
0 0 0 x
e - 1
3
∞ x
= 4 ∫ ───── dx
0 x
e - 1
3
∞ x e^(-x) ∞ 3 ∞ -nx ∞ ∞ 3 -nx
= 4 ∫ ─────── dx = 4∫ x Σ e dx = 4 Σ ∫ x e dx
0 1 - e^(-x) 0 n=1 n=1 0
3 3 3 3
( Let z = nx，dz = ndx，dx = (1/n)dz，x = (z/n) = z / n )
∞ ∞ z^3 -z 1 ∞ 1 ∞ 3 -z
= 4 Σ ∫ ─── e - dz = 4 Σ ─── ∫ z e dz
n=1 0 n^3 n n=1 n^4 0
∞ 1 ∞ 4 - 1 -z
= 4 Σ ─── ∫ z e dz
n=1 n^4 0
= 4 Zeta(4) Γ(4) = 4 (π^4/90) (3!) = 4 π^4/15
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 118.160.210.92
※ 編輯: Frobenius 來自: 118.160.210.92 (06/30 11:50)