[問題] Proof of L'Hospital

[znmkhxrw (QQ)]

對不起喔佔了那麼多篇文章  也麻煩了板上一些大大

當初補習班老師只證 lim x→a+ 的form，他是這樣證的：

if f(a)=0=g(a) , g'(a+)=/=0 ,f'(a+) exists

then

lim_{x→a+} f(x)/g(x)

=lim_{x→a+} [f(x)-f(a)]/[g(x)-g(a)]

=lim_{x→a+} {[f(x)-f(a)]/(x-a)} / {[g(x)-g(a)]/(x-a)}

=lim_{x→a+} {[f(x)-f(a)]/(x-a)} / lim_{x→a+} {[g(x)-g(a)]/(x-a)} --(1)

= f'(a+) / g'(a+)  ---(2)

=lim_{x→a+} f'(x) / g'(x) ---(3)


(2)→(3) 需要C^1吧  好吧  先饒過它


我的問題是 現在如果要證：

if f(∞)=0=g(∞) , g'(∞)=/=0 ,f'(∞) exists

then

lim_{x→∞} f(x)/g(x)

let x=1/u

=lim_{u→+0} f(1/u)/g(1/u)

=lim_{u→+0} {[f(1/u)-0]/(u-0)} / {[g(1/u)-0]/(u-0)} ----(1)

從(1)

如果直接跳到(3)

我們得到

lim_{u→+0} f'(1/u)*(-1/u^2) / g'(1/u)*(-1/u^2)

= lim_{u→+0} f'(1/u) / g'(1/u)

這樣OK，But why?? 怎麼證


如果仿造補習班老師的證法

從(1)→(2)

我們得到

[f'(1/u)*(-1/u^2)│u=0+] / [g'(1/u)*(-1/u^2)│u=0+]

怪事發生了

(-1/u^2)來不及消掉就先取lim了

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總結：有(1)→(3)的證法嗎??

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◆ From: 111.251.228.206
→ Vulpix      :真的要說的話：連鎖律　   不過其實這個證明還有漏洞
→ Vulpix      :如果有很多a附近的x，使得g(x)=g(a)怎麼辦？