推 addcinabo :感謝大大^^ 07/08 22:40
推 LimSinE :Rmk: ab=1/c...，倒根變換後Lemma只是普通的算幾 07/09 02:02
※ 引述《addcinabo (勇敢的海上戰士..羅賓將~)》之銘言：
: 已知正實數a,b,c滿足abc=1，試證:
: 3 6
: 1+ ------- > ----------
: a+b+c = ab+bc+ca
: 請各位大大賜教^^
原不等式可化為
3(ab+bc+ca)
(ab+bc+ca)+ ------------ >= 6
a+b+c
(ab+bc+ca) 3
先證 ------------ >= ----------
a+b+c ab+bc+ca
Pf： (ab+bc+ca)^2
= a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2(a+b+c) (由 abc=1)
>= 3(a+b+c) ∵ (a^2b^2)/2 + (c^2a^2)/2 >= a, 其他同理可得。
因此，
3(ab+bc+ca) 9
(ab+bc+ca)+ ------------ >= (ab+bc+ca)+------------ >= 6 (算幾)
a+b+c ab+bc+ca
故原式得證。
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