Re: [微積] 一題積分

[Lindemann (當助教真不是人幹的)]

※ 引述《Lindemann (當助教真不是人幹的)》之銘言：
: ※ 引述《stos0924 (好棒)》之銘言：
: :  pi    sinx
: : S -------------- dx
: :  0  1 + cos^2x
: : 解出
: : = - [tan^-1 (cos pi) - tan^-1 (cos 0)]
: : = - [      135       -       45      ]
: : = (- pi / 2)
: : 可是答案是... (pi / 2)        why...?
: : 判斷哪兒出問題了嗎...?
: : 謝謝~
:               let   u = cosx , du = -sinx  象限取在 [ 0 , pi ]
: we get
:           -1  1
:        - S ------ du  =  tan(1)-tan (-1) = pi / 4-(-pi / 4)= pi / 2
:           1
:             1+u^2


             抱歉,我今天坐車冥想心算發現我好像又算錯了><,原po的計算是對的

但是 sinx 和  1 + cos^2x 在 0到 pi 積分一定是正的 ,發現一個"paradox"

 0到 pi之間

       tan(1)-tan (-1) = pi / 4- 3pi / 4 = - pi / 2

有沒有人可以來解釋一下這個 paradox???




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◆ From: 140.113.127.110
推 jacky7987   :arctan:R-->(-pi/2,pi/2)?
→ jacky7987   :所以arctan(-1)=-pi/4
→ jacky7987   :(我記得取的branch是一四象限)
→ Lindemann   :但是我的定義域取0到pi,因為積分上下限是0到pi呀?
推 jacky7987   :這樣的arctan不連續吧?取0-pi的話(開始動搖XDDD
→ jacky7987   :感覺會在原本tan(pi/2)=+-inf的地方出問題!?
→ jacky7987   :當初好想就是為了避免這種鬼情況才選-pi/2~pi/2?
→ jacky7987   :然後arccot選0-pi
→ Lindemann   :我當初是沒想清楚而且我知道積分必是正才亂湊這個XDD
→ jacky7987   :不嚴格來講，+-無限大都打到pi/2(如果選0~pi的話)
→ jacky7987   :似乎就不是1-1了(亂解釋ing XDD
推 jacky7987   :如果選-pi/2~pi/2的話就可以避免掉這個問題!?
→ Lindemann   :嗯,取這就不是一對一了,所以真的不能隨便亂換,再想想
→ jacky7987   :簡言之，因為tan是連續的，所以取arctan的時候也必
→ jacky7987   :須選個範圍讓他連續
→ Lindemann   :tan是並不是連續函數,除非你選定某些定區間讓她連續
推 jacky7987   :恩恩我的意思是這樣QQ
→ Lindemann   :既然定義域已經選好了,我也在此作變數變換,那就不能
→ Lindemann   :任意去更改定義域吧? 所以tan(-1)含著眼淚選3/4 pi
→ Lindemann   :但是又違反了函數為正積分必為正的定理,真是奇怪?
推 jacky7987   :對於那個式子來說，因為 arctan就只是乖乖地把
→ jacky7987   :cos(pi)打到-pi/2而已，似乎也沒有特別詭譎，因為
→ jacky7987   :那個1的來源是cos(pi)整體而言沒有換定義域吧
→ jacky7987   :    -1
→ jacky7987   :           -pi/4
→ jacky7987   :(一直打錯拍謝:P