[分析] 「存在不可數集」的證明

[pentiumevo (神秘數學組織SIGMA)]

範圍是點集拓樸

首先列出我看的書上的定理（基本跟Munkres沒多大差別）

定理1.7.3 集合X可數 若且唯若 存在從正整數集Z+到X的onto映射

定理1.7.6 設X是一個集合，Y＝{0,1}，記Y^X是X到Y的所有映射的集合

          則存在從X到Y^X的1-1映射（injective），但不存在從X到Y^X的的一一映射

          （bijection）

-------------------------------------問題開始--------------------------------

書本上說

推論1.7.7 存在不可數集

證明：在定理1.7.6中，令X為正整數集Z+，Y={0,1}，則由定理1.7.6知{0,1}^Z+是不

      可數集。  □


我想不通怎麼由定理1.7.6知道這結果

目前我已知道

（1） 存在從Z+到{0,1}^Z+的1-1映射

（2） 不存在從Z+到{0,1}^Z+的一一映射

但我沒辦法推出不存在從Z+到{0,1}^Z+的onto映射，也就不能用定理1.7.3證明{0,1}^Z+

這玩意兒是不可數。


請各位幫幫忙，謝謝。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 125.233.5.242
→ wickeday    :diagonal argument
不，我不要用對角論證法，我想直接用定理，麻煩了
※ 編輯: pentiumevo      來自: 125.233.5.242        (07/09 21:54)
推 jacky7987   :沒有Z+ 到{0,1}^{Z+}的bijective函數
→ jacky7987   :可數的定義是從存在bijective function 從N-->X
j大不好意思，可以請您再講清楚些嗎？我看不大懂...
※ 編輯: pentiumevo      來自: 125.233.5.242        (07/09 22:38)
→ jacky7987   :Definition X is said to be countable if there
→ jacky7987   :exists a bijective function f:N--->X
剛剛在洗澡時，我想出來了。

我用的這本書對於可數的定義是：

        若集合X與正整數集Z+間有1-1映射存在，則稱X是可數的

這定義比較廣，因為這樣連有限集也算是可數的

此時易證以下事實：

        當X是無限集，X是可數的若且唯若X與Z+間存在一一映射

回來原來問的問題

現在要證明{0,1}^{Z+}是不可數，我們要先確認這集合是無限集

因{0,1}^{Z+}＝{f|f:Z+ → {0,1}}

從中可以取得一個函數序列{f_n}

f_n的取法是：

          0  x!=n
f_n (x) =
          1  x=n

那麼{f_n}是無限集。而再由定理1.7.3知{0,1}^{Z+}與Z+間不存在一一映射，那麼

{0,1}^{Z+}就是不可數的。

※ 編輯: pentiumevo      來自: 125.233.5.242        (07/09 23:20)
推 jacky7987   :By thm 1.7.6 there is no bijective function
→ jacky7987   :from N to {0,1}^N, hence {0,1}^N is uncountable
推 jacky7987   :N就是Z+阿XD
→ jacky7987   :這樣想沒錯:)
推 Lindemann   :這不就還是對角線法的精神嗎?XD