推 s23325522 :我一直囿於e^x微分恆等於sigma 0->oo x^n/n! 07/12 23:20
→ s23325522 :沒想到可以這樣子搞 07/12 23:21
推 wohtp :或者改用 exp(ax)，對 a微分，最後再取 a=1。 07/13 06:29
不好意思過了一會兒才想出來
: oo
: 導証 Σ n^2*x^n/n!=(x^2+x)e^x
: n=0
suppose you know
n
x ∞ x
e = Σ ----
n=0 n!
differentiate both sides
n-1
x ∞ nx
e = Σ ----- ----(1)
n=1 n!
differentiate again
2 n-2
x ∞ (n - n) x
e = Σ ------------
n=2 n!
n-2 2 n
x ∞ nx ∞ n x 1 2
-> e + Σ ------ =(Σ ------- ) * (-----)
n=2 n! n=2 n! x
n-1 2 n
x ∞ nx 1 ∞ n x 1 2
-> e + ( Σ ------ - 1 ) * ---- = (Σ ------- ) * (-----)
n=1 n! x n=2 n! x
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
x
from(1) we know this is ( e - 1 ) /x
x 2 n
x e - 1 ∞ n x 1 2
-> e + ------------- = { ( Σ ------- ) - x } * (---)
x n=0 n! x
2 n
2 x x ∞ n x
-> x e + x e - x = ( Σ ------- ) -x
n=0 n!
2 n
∞ n x 2 x
-> Σ ------- = ( x + x ) e Q.E.D
n=0 n!
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