Re: [微積] 兩題表面積

[sleep123 (sleep123)]

※ 引述《ssadd502227 (我想考試)》之銘言：
: 1.y平方-2logy=4x y=1 to y=2 繞x軸旋轉的表面積

           2
題目改成：y  - ln(y) = 4x

整理 x=(1/4)(y^2 - 2lny)

             x=(1/4)(t^2 - 2lnt)
曲面參數式F：y=tcos@             ，其中 0<=@<=2π，1<=t<=2
             z=tsin@

      2 2π
面積=∫∫ ||(dF/dt)×(dF/d@)||d@dt
      1 0

dF     1     1
-- = ( -(t - -) ,  cos@ , sin@ )
dt     2     t

dF
-- = (   0      ,-tsin@ ,tcos@ )
d@


||dF  dF||  1  2
||--×--|| =-(t + 1)    (沒仔細驗算，可能有誤)
||dt  d@||  2
                10π
帶回積分得面積= ---
                 3

: 2.Z=XY在圓柱X平方+Y平方=A平方內之表面積 之前有大大回過我這題,不過我看不懂這題為啥要用向量去換,拜託各位了 我這章學很差 快考試了 這兩題重複出過幾次乳果可以的話麻煩過程寫的詳細一點 順便告訴我這是牽涉到哪幾個章節的 謝謝

誤會題意更正：

x^2+y^2=A^2 "內的"(x,y)有無限多組，Z又不是定數，所以無法算

所以題目可能要改成：

(1)xy=常數 在 x^2+y^2=A^2 內的表面積
或
(2)xy=z 在 x^2+y^2=A^2 曲面上所形成的表面積

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◆ From: 163.19.167.174
→ sleep123    :使用方法，微分幾何
※ 編輯: sleep123        來自: 163.19.167.174       (07/13 18:03)
→ s23325522   :你怎麼知道@範圍是0~2PI 你能給出圖形大概長怎樣嗎?
→ ricestone   :向量去換...應該是指用投影面積反過來求原本面積吧。
三樓講到我用的方法，這邊稍微解釋：

一般曲面如果“沒有自交”且“曲面光滑”(看要定義到幾次微分，最少一次)

可以想成是一張二維的金箔D，加熱塑形成三微空間（或更高微）中的曲面S

當然這之中牽扯到金箔D形變，可能有的地方變大、有的地方變小

所以算法就是將金箔D切成很多小塊dij，然後看小塊dij變化比例

變化的比例其實就是微分幾何“第一標準式”（看要定義矩陣或定義行列式）

所以最後S的面積≒Σdij，當dij切到足夠細其實就是積分公式

接著回答二樓問的，

首先觀察xy平面上一曲線(f(t),t)，其中tε(0,∞)，f'(t)存在且連續(有連續方便點)

曲線(f(t),t)繞x軸轉一圈的圖形為

x=f(t)
y=tcos@ ，因為繞x軸轉一圈，所以@角度當然是繞一圈
z=tsin@

至於圖形長怎樣其實也不難，不過長怎樣不是重點

畫出4x=y^2-2lny，再繞x軸轉一圈，大概是個鐘的樣子
※ 編輯: sleep123        來自: 163.19.167.174       (07/14 13:34)