推 CKIIIIII :謝謝你 我明白為什麼要取d/2的原因了 非常感謝 07/19 10:35
※ 引述《CKIIIIII (CK)》之銘言：
: 高等微積分的heine定理
: 假設<X,dx> <Y,dy>為兩metric space ,K為X之compact subset,f為X映至Y的函數,
: 且f在K連續,則f在K將是均勻連續
Notation:
e:epsilon
d:delta
兩邊metric都用[x,y]表示
B(x,d)表示x的距離d內neighborhood
1. f在K連續 所以對於所有e K上每點x 有對應d(x) <因x不同>
使所有K上y 只要[x,y]<d(x)則[f(x),f(y)]<e/2
2. 對於K上每一點x考慮 B(x,d(x)/2)
所有的Ball形成K的open covering
K又compact 所以有finite subcovering 記成B1,...,Bn
Bi表B(xi,di/2)
注意(a)現在K中任一點y只要和xi距di(Bi半徑的兩倍)
即達成[f(y),f(xi)]<e/2
(b)K中任一點在B1,....,Bn<K的covering>至少其中之一內
3. 因此考慮K中任一點x
x在某一個Ball內,say B1,也就是B(x1,d1/2),所以[x,x1]<d1/2
也因此[f(x),f(x1)]<e/2
取d*=min{d1/2,...dn/2}
則任一點y和x距d*內,我們有
[y,x1] < [y,x] + [x,x1] < d1/2 + d1/2 = d1
故[f(y),f(x1)]<e/2
因此[f(x),f(y)] < [f(x),f(x1)] + [f(x1),f(y)] < e/2 + e/2 = e
4. 3.當中的到的結論說:
所有e 可以取d* K中任兩點 只要
[x,y] < d* 則 [f(x),f(y)] < e
所以f在K均勻連續#
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