[幾何] divergence theorem 似乎不適用於 unbounded region

[asynchronous (同步)]

最近思考到一個問題

 divergence theorem 似乎無法用於延伸到無窮遠處的區域

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例如考慮向量場  v = (1/r^2)  r  在 r > a 的區域 divergence 都是 0

但  ∫v˙n dS  = ∫ 1/r^2 dS  =  4π


在這種情況下  是不是可以像複變在 ∞ 定義 residue 一樣

定義一個 ∞ 的 divergence 呢?

數學上有人在做這樣的定義嗎?

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.116.231.238
推 G41271      :甚麼意思? 你舉的例子在有限遠處就不一樣啦
→ G41271      :跟無窮遠有關嗎
→ asynchronous:不是很懂樓上的意思?
推 profyang    :不是很懂你想表達什麼...你舉的例子是標準Divergence
→ profyang    :Thm不適用的例子,因為他在0函數沒有定義...
我考慮的是 r > a 的區域  不是 r < a
→ profyang    :不過電磁學裡通常是寫▽‧▽(1/r)=δ(r)就是了
※ 編輯: asynchronous    來自: 122.116.231.238      (07/19 00:24)
推 profyang    :那不就是設一個很大的邊界去近似嗎?電磁學裡的
→ profyang    :Dirichlet problem(lapalace equation的唯一性)常常
→ profyang    :都是這樣處理的
→ profyang    :更正 不應該說近似 說取極限應該比較好
→ profyang    :上面打錯,應該是poisson equation
推 qna         :..你的散度定理 一邊排除原點 一邊又包含原點..
→ qna         :先把結論告訴你 定理本身是可用在無窮遠