→ luke2 :我記得是某一年數學競賽的考古題... 07/22 15:46
※ 引述《winnerofblue ()》之銘言：
: 三角形ABC為一等腰三角形,AB=AC,
: 今若角B的平分線交AC於D，
: 且BC=BD+DA,
: 求角A的度數
作DE||CB，交AB於E
在BC上取一點F，使 BF = BD，FC = AD
因為ED||BC，所以內錯角相等，∠DBC = ∠BDE
且BD是角平分線，所以 ∠DBC = ∠DBE = ∠BDE
所以△EBD 是等腰三角形，EB = ED
因為ED||BC，AB=AC，所以EB = DC => ED = DC
因為ED||BC，所以同位角相等， ∠ADE = ∠C
在△AED 和 △FDC中，AD = FC，∠ADE = ∠C，ED = DC
所以，根據SAS知全等，所以
FD =AE = AD = FC => △FDC 也是等腰三角形
=> ∠FDC = ∠C 另外 ∠A = ∠DFC
因為BD = BF，所以 △BDF 是等腰三角形
∠BDF = ∠BFD
根據三角形內角和180，所以
∠ADE = (180 - ∠A)/2
∠EDB = ∠ABD = ∠B/2 = (180-∠A)/4
∠BDE = ∠BFD = 180 - ∠DFC = 180 - ∠A
∠FDC = ∠C = (180 -∠A)/2
以上四個角之和為 180度。所以
(180 -∠A)/2 + (180-∠A)/4 + 180 -∠A + (180-∠A)/2 = 180
(180-∠A)*(1/2 + 1/4 + 1 + 1/2) = 180
(180 - ∠A)*9/4 = 180
180 -∠A = 80
∠A = 100
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