→ steve1012 :太感恩了！ 07/22 15:49
推 went27 :用心! 07/24 10:11
※ 引述《steve1012 (steve)》之銘言：
: 因為小的高中的時候
: 斜的圓錐曲線的單元已經被刪掉了
: 可是實在蠻有興趣的
: 不知道哪裡有學習的資源
: 網路上的資料都蠻零碎的...
※ 引述《steve1012 (steve)》之銘言：
: 因為小的高中的時候
: 斜的圓錐曲線的單元已經被刪掉了
: 可是實在蠻有興趣的
: 不知道哪裡有學習的資源
: 網路上的資料都蠻零碎的...
化簡二元二次方程式: ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 (b不等於0)
δ= b^2 - 4ac 可透過先轉軸消去xy項，再平移軸化成標準式
但對於有心錐線(有對稱中心的圓錐曲線，如橢圓、雙曲線)，則先移軸到對稱中心
再轉軸消去xy項會比較簡單
化簡原則: 設g(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 (b不等於0)
1. 先檢查δ= b^2 - 4ac 不等於 0
(1)先移軸至新原點O'(h,k)，消去兩個一次項係數，g(x, y)化簡成
Γ: ax'^2 + bx'y' + cy'^2 = -f (移軸後二次項係數不變)
_
| 2ah+bk+d=0
其中新原點坐標O'(h,k)滿足 |_ bh+2ck+e=0 ，解出(h, k)，得到f=g(h, k)
(2)再轉軸一個銳角θ，其中 cot2θ=(a-c)/b，消去x'y'項
變成Γ: a'x"^2 + c'y"^2 = -f (轉軸後常數項不變)，即可將Γ化成標準式。
2. 先檢查δ= b^2 - 4ac 等於 0
(1)先轉軸一個銳角θ，其中 cot2θ=(a-c)/b，消去xy項
g(x, y)化簡成Γ: ax'^2 + cy'^2 + d'x' + e'y' = -f (轉軸後常數項不變)
此時Γ中a'、c'必有一個為0 (見註1)
若c'=0，Γ會變成 Γ':ax'^2 + d'x' + e'y' = -f
(2) 當e'不等於 0時，可將Γ'加以配方，再移軸可得Γ為拋物線
當e'等於 0時，則Γ可能為兩條平行線或兩條重合直線或沒有圖形
從以上討論，可以得到化簡一般二次曲線的方法與原則，根據這些原則，我們可以去判
定Γ的形狀，不過在化簡過程中，除非到最後，否則無法判別出Γ的形狀
然而在坐標變換的過程中發現有些「係數所形成的代數式」是保持不變，利用這些「係
數所形成的代數式」我們就可以根據原方程式的係數來判斷出Γ的形狀。
1. 不變量：二次曲線Γ: ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 中經過「移軸」
、「轉軸」的變換後，其係數所形成的代數式：
|2a b d|
(1) H=a+c； (2)δ= b^2 - 4ac； (3)b^2 + (a-c)^2； (4)△=1/2 |b 2c e|
|d e 2f|
的值都不會改變 _
| x = x'+ h
[證明] <移軸> 設移軸至新原點O'(h,k)，移軸公式 |_ y = y'+ k
代入Γ的原方程式後得到Γ: a'x'^2 + b'x'y' + c'y'^2 + d'x' + e'y' + f' = 0
所以對於H、δ、b^2 + (a-c)^2 而言，經過移軸顯然是不變量
|2a' b' d'| | 2a b 2ah+bk+d |
△=1/2 |b' 2c' e'| = 1/2 | b 2c bh+2ck+e |
|d' e' 2f'| |2ah+bk+d bh+2ck+e 2(ah^2+bhk+ck^2+dh+ek+f)|
| 2a b d | |2a b d|
=1/2 | b 2c e | = 1/2 |b 2c e|
|2ah+bk+d bh+2ck+e dh+ek+f| |d e 2f|
_
| x = x"cosθ - y"sinθ
<轉軸> 設轉軸一個銳角θ，轉軸公式 |_ y = x"sinθ + y"cosθ
代入Γ的原方程式後得到Γ:a"x"^2 + b"x"y" + c"y"^2 + d"x" + e"y" + f" = 0
2 2
其中 a" = acos θ+bcosθsinθ+csin θ
2 2
b" = -2asinθcosθ+b(cos θ-sin θ)+2csinθcosθ = bcos2θ-(a-c)sin2θ
2 2
c" = asin θ-bcosθsinθ+ccos θ
d" = dcosθ+esinθ e" = -dsinθ+ecosθ f"=f
2 2 2 2
H不變量 => a"+c" = (acos θ+bcosθsinθ+csin θ)+(asin θ-bcosθsinθ+ccos θ)
2 2 2 2
= a(cos θ+sin θ)+c(cos θ+sin θ) = a+c
b^2 + (a-c)^2不變量 => b"^2 + (a"-c")^2
= [bcos2θ-(a-c)sin2θ]^2 + [bcos2θ+(a-c)sin2θ]^2
2 2 2 2
= b^2(cos 2θ+sin 2θ)+(a-c)^2(cos 2θ+sin 2θ) = b^2 + (a-c)^2
δ= b^2 - 4ac不變量 => b"^2 - 4a"c" = b"^2+(a"-c")^2-(a"+c")^2
= b^2 + (a-c)^2-(a+c)^2 = b^2 - 4ac
(註1) 當轉軸角θ滿足cot2θ=(a-c)/b (0 < θ/2 < π/2)
且 b"^2 + (a"-c")^2 = b^2 + (a-c)^2 => b"=0
_______________
=> a"-c" = √[b^2 + (a-c)^2] = (a-c)cos2θ + bsin2θ
a-c 2
= bsin2θ[(a-c)cot2θ/b + 1] = bsin2θ[(-----) + 1]
b
因為sin2θ>0，所以a"-c"與b的正負號相同
2. 利用不變量來化簡二元二次方程式：
設g(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 (b不等於0)
(1) δ= b^2 - 4ac不等於0時，先移軸再轉軸 _
| 2ah+bk+d=0
先平移到新原點O'(h,k)消去x，y項係數，其中(h,k)滿足 |_ bh+2ck+e=0
=> Γ: a'x'^2 +b'x'y'+ c'y'^2 = -f'
其中 a'=a, b'=b, c'=c, f'=g(h,k)
再轉軸銳角θ，消去x'y'項，其中cot2θ=(a-c)/b
=> Γ:a"x"^2+c"y"^2+f" = 0
因為 b"^2 + (a"-c")^2 = b^2 + (a-c)^2，且b"=0
a-c 2
所以a"-c"= bsin2θ[(-----) + 1] ，可解出a"、c"、f"=f'=g(h,k)
b
(2) δ= b^2 - 4ac等於0時，先轉軸再移軸
先轉軸銳角θ，消去xy項，其中cot2θ=(a-c)/b
=> Γ: ax'^2 + cy'^2 + d'x' + e'y' = -f'
因為b'^2 -4a'c' = b^2 - 4ac = 0 => a'=0 or c'=0，不妨設c'=0
=> Γ: ax'^2 + d'x' + e'y' = -f'，其中d'=dcosθ+esinθ, e'=-dsinθ+ecosθ,
f'=f
再移軸至O'(h,k)，其中(h,k)的找法可利用配方法。
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