[微積] Dini Theorem

[CKIIIIII (CK)]

設K為compact set,{fn}為定義於K的連續函數數列

若滿足以下性質

<1>fn->f pointwisely on K ,f為定義於K之連續函數

<2>fn(x)遞減 對所有的x屬於K

則 fn -> f uniformly on K

PF:

  取hn=fn-f 則{hn}為定義在K的連續函數數列

滿足hn遞減 且hn->0 pointwisely on K

給定任意r>0

定義集合 Un={x屬於K|hn(x)大於等於r}

且Un+1包含在Un內

因為Un是閉子集

compact中的閉子集必為compact

因此Un為compact

對所有的x屬於K 則hn(x)->0 as n->無限大

所以當n夠大

則x不屬於Un

所以x不屬於Un的交集

所以在n大過N之後

Un為空集合

所以n大過N之後

0<hn(x)<r  對所有的x屬於K

所以fn->f uniformly on K



我有點不太明白為什麼要證明Un是compact的

證明這樣寫感覺證明compact並不是必要的阿

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◆ From: 58.115.68.86
推 yusd24      :這裡有用到非空並且有包含關係的緊緻集交集為非空
→ CKIIIIII    :那他最後說Un是空集合阿
→ CKIIIIII    :感覺是多證的
→ CKIIIIII    :我不能一開始設完hn之後 就直接說他收斂到0嗎?
→ CKIIIIII    :這樣不是就證明完畢了嗎?
→ wickeday    :弄清楚收斂pointwise和uniform的差別
→ CKIIIIII    :我知道逐點收斂跟均勻收斂的關係阿
→ CKIIIIII    :我只是想知道為什麼要多證compact
→ ricestone   :是為了確保N是有限就可以發生吧
→ ricestone   :而不是單純Un的n趨近無限才會變成空集合
推 chy1010     :因為 Un 均為 compact, 若非在某個有限項變空集合,
→ chy1010     :不可能最後交集為空. 同前面其他板友所述.
→ CKIIIIII    :謝謝各位的答案 我再想一想
推 yusd24      :你可以考慮 fn(x)=1, if x>n, 0 otherwise.
→ yusd24      :然後去跑一次這個證明你就知道問題在哪了
→ yusd24      :如果你擔心 fn不連續的話，畫個斜線把它補成連續即可
推 Math        :http://goo.gl/q0Hpj
→ znmkhxrw    :樓上那個PDF中下面那些ex. 為啥用sup來證明非uniform
→ znmkhxrw    :在學的時候沒看過這種方法耶  也不知道原因@@"
推 yusd24      :這個方法蠻直接的。我的意思是你把 unif. 的定義寫出
→ yusd24      :來你就可以知道為什麼那樣就一定不會 unif.