[分析] int(cl(A)) = A

[znmkhxrw (QQ)]

如題

如果 A 不是 open set, 很容易舉到反例


考古題中 它寫 if A is an open set of R^n

Prove or give an counterexample of int(cl(A)) = A

我想了很久 造不出反例 而且感覺是對的

可是去證的時候就一直證不出來@@"


Pf：(L(A)代表A的所有limit point(存在一個每項不相等的數列))

int(cl(A)) = int(A U L(A)) = int(A) U int(L(A)) = A U int(L(A)) (因為int(A)=A)

所以 int(cl(A)) = A U int(L(A)) >= A (>=是包含)

現在要證 int(cl(A)) =< A (=<是被包含)

也就是要證 for all x€int(cl(A)) then x€A

x€int(cl(A)) → x€A or int(L(A))

Case1：x€A done

Case2：x€int(L(A))

    → there exists r > 0, s.t. D(x;r) =< L(A)


問題來了

現在就是一個半徑=r的n-ball，每一點都是A的limit point

也就是說此ball的每一點旁邊都有A的點

可是要怎麼確定說

至少這ball的其中一點  其旁邊的A點   一定會選到中心點x

如果能說明這件事 那麼就確定x€A了

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最後問一下

if A is open

then A =< L(A)

這是對的嗎??

我自己是想說：

for all x€A , there exists r > 0 s.t. D(x;r) =< A

then L(D(x;r)) =< L(A)

then {x}€cl(D(x;r)) = L(D(x;r)) =< L(A)

so x€L(A)

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◆ From: 61.223.103.90
→ znmkhxrw    :阿= =發覺第一題取n-ball中間一個洞就是反例了@@
推 hjmeric     :第二題 A取宇集
推 hjmeric     :然後此metric space不是R^n應該就可以舉到反例
推 hjmeric     :如果是R^n那證明應該是對的，差別在第三行的
→ hjmeric     :cl(D(x;r))=L(A(x;r)):如果D(x;r)只有一個點就不相等